Soluções em mecânica estatística

UFSM - Curso de F´ ısica ˆ
FSC509 - MECANICA ESTAT´
ISTICA
Prof. Jos´ Antˆnio Trindade Borges da Costa e o

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UNIDADE 01 - CONCEITOS ESTAT´
ISTICOS BASICOS
A distribui¸˜o binomial ca Queremos encontrar a probabilidade W (n) de que um evento caracterizado por uma probabilidade p ocorra n vezes em N tentativas.
A probabilidade de uma dada seq¨ˆncia de n1 = n eventos e n2 = N − n ue n˜o eventos, onde cada evento ´ independente dos anteriores, ´ dada por a e e pp...pqq...q = pn1 q n2 , onde q = p − 1 ´ a probabilidade de n˜o-evento. e a
Estamos interesados no n´mero total de vezes que ocorre o evento e n˜o u a na ordem com que este evento ocorre nas N tentativas. Este problema ´ o e mesmo que contar o n´mero de maneiras diferentes de acomodar N objetos u dos quais n1 s˜o indistingu´ a ıveis e de um tipo, e n2 s˜o indistingu´ a ıveis e de outro, em um total de N = n1 + n2 lugares.
Todos os N lugares podem ser ocupados de N ! maneiras. Uma vez que n1 objetos s˜o indistingu´ a ıveis, todas as suas n1 ! permuta¸˜es levam ` mesma co a situa¸˜o e, do mesmo modo, para n2 . Dividindo o n´mero total de modos ca u como os objetos podem ser acomodados, N !, pelo n´mero de permuta¸˜es u co irrelevantes, n1 !n2 !, obtemos
N!
. n1 !n2 !
Finalmente, multiplicando a probabilidade de uma dada seq¨ˆncia de n ue resultados em N tentativas pelo n´mero total de seq¨ˆncias com o mesmo u ue resultado, encontramos
N ! n1 n2
W (n1 ) = p q
(1)
n1 !n2 ! ou N! pn (1 − p)N −n
(2)
W (n) = n!(N − n)!
A Equa¸˜o (2) ´ conhecida como distribui¸˜o binomial. Ela ´ a base para ca e ca e o estudo de muitos problemas estat´ ısticos importantes.
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Problemas Resolvidos2
1.1 - Qual ´ a probabilidade de obter um total de 6 pontos ou menos com e trˆs dados ? (Ver tamb´m Salinas[1], Cap. 2, Exerc´ 1, p.38) e e ıcio RESPOSTA

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O resultado de cada dado ´