SISTEMA DE EQUAÇÕES LINEARES

SISTEMA DE EQUAÇÕES LINEARES
♦ Definição

Dados os números reais a1 , a 2 ,..., a n , b , com n ≥ 1 , a equação a1 ⋅ x1 + a 2 ⋅ x 2 + ... + a n ⋅ x n = b onde x1 , x 2 ,..., x n são variáveis ou incógnitas, é denominada equação linear nas variáveis x1 , x 2 ,..., x n . Os números reais a1 , a 2 ,..., a n são denominados coeficientes das variáveis x1 , x 2 ,..., x n , respectivamente, e b é denominado de termo independente.
Um Sistema Linear sobre R com m equações e n incógnitas é um conjunto de m ≥ 1 equações lineares com n ≥ 1 variáveis, e é representado por:
 a11 ⋅ x1 + a 12 ⋅ x 2 + ... + a1n ⋅ x n = b1
 a ⋅ x + a ⋅ x + ... + a ⋅ x = b
 21 1
22
2
2n
n
2

 ................................................. ..
a m1 ⋅ x1 + a m 2 ⋅ x 2 + ... + a mn ⋅ x n = bm


Com a ij , bi ∈ R , i = 1,..., m e j = 1,..., n .

♦ Matrizes Associadas a um Sistema Linear
Sistemas podem ser representados na forma matricial:
 a 11

 a 21
 ...

a
 m1

a 12 a 22
...
am 2

... a1n   x1   b1 
    
... a 2 n   x 2   b2 
=
⋅
... ...   ...   ... 
    
... a mn   x n   bm 
    

144424443 {
C

{

X

B

Denominadas, matriz C de Coeficientes, matriz X de Variáveis e matriz B de Termos
Independentes.
Assim, um sistema linear com m equações e n incógnitas fica representado pela equação matricial
C ⋅ X = B.
Outra matriz que se pode associar a um sistema linear é a Matriz Ampliada ou Completa do sistema.
 a11

 a21
A=
...

a
 m1

a12 a22 ... am 2

a1n b1 

... a2n b2 
... ... ... 

... amn bm 

...

24

♦ Classificação de Sistemas
Classifica-se um sistema linear de acordo com o tipo de solução.
Uma solução para um sistema de equações lineares é uma n-upla de números reais (s1 , s 2 ,..., s n ) que satisfaz todas as equações, simultaneamente, isto é, substituindo-se a variável x1 pelo valor s1 , x 2 por s 2 , ... e x n por s n em cada uma das