Sf1n1 2014

a

Solução da prova da 1 fase
OBMEP 2014 − Nível 1

1

QUESTÃO 1
ALTERNATIVA C
Ao efetuarmos a operação 111 x 111 obtemos:

9 . A conta acima também pode ser feita da
Logo a soma dos algarismos do resultado é 1 + 2 + 3 + 2 + 1 = seguinte maneira: 111× 111
= 111× (100 + 10 +=
1) 11100 + 1110 + 111
= 11100 + 1221
= 12321 .
Observe o que ocorre com as multiplicações com parcelas iguais cujos algarismos são todos iguais a 1:

1× 1 =
1
11× 11 =
121
111× 111 =
12321
1111× 1111 =
1234321 , ...

111111111× 111111111 =
12345678987654321 .
Este padrão é alterado nas próximas multiplicações, iniciando então uma nova regularidade:

1111111111× 1111111111 =
12345678900987654321 ,
11111111111× 11111111111 =
1234567890120987654321 ,
111111111111× 111111111111 =
123456789012320987654321 ,
1111111111111× 1111111111111 =
12345678901234320987654321
e assim por diante, de dez em dez, um novo padrão aparece. Isto é uma característica de nosso sistema de numeração posicional decimal.
QUESTÃO 2
ALTERNATIVA E
Se as oito pizzas fossem divididas ao meio, teríamos meio pedaço para 16 pessoas; dividindo sete pizzas, teríamos uma pizza inteira para um menino e 14 metades para as meninas, ou seja, 15 amigos; deixando mais uma pizza inteira, teremos a distribuição das 8 pizzas para 2 meninos e 12 meninas, portanto, para os
14 amigos.
Outra solução, via equações: Vamos representar o número de meninas por x e o número de meninos por y . Segue das condições do enunciado que

x+y =
14 (número total de amigos) e x +y =
8 (número total de pizzas).
2

Resolvendo esse sistema, obtemos: x = 12 e y = 2 . Logo, havia 12 meninas no grupo.

a

Solução da prova da 1 fase
OBMEP 2014 − Nível 1

2

QUESTÃO 3
ALTERNATIVA D
O comprimento do contorno em vermelho é a soma dos comprimentos dos segmentos que formam o contorno. Com exceção dos segmentos mais grossos, destacados em azul, os comprimentos de todos os outros são fornecidos pelo enunciado. Para encontrarmos o comprimento dos segmentos destacados em
azul