Series e sequencias

Seqüências e Séries

Notas de Aula
4º Bimestre/2010
1º ano - Matemática
Cálculo Diferencial e Integral I
Profª Drª Gilcilene Sanchez de Paulo

Seq¨ˆncias e S´ries ue e
Para x ∈ R, podemos em geral, obter senx, ex , lnx, arctgx e valores de outras fun¸oes c˜ transcendentes utilizando uma calculadora ou uma tabela.
Um problema fundamental consiste em determinar como as calculadoras calculam esses n´meros, u ou como se constr´i uma tabela. o As s´ries num´ricas infinitas (somas infinitas) podem ser usadas para obter valores funcionais e e de uma certa fun¸ao f (x), ou seja, valores aproximados para f (c), c ∈ R. c˜ Portanto, temos que interpretar essas “somas infinitas” e saber o seu significado preciso. Lidar com o infinito sempre foi um problema dif´ ıcil; e os matem´ticos sabem disso h´ mais de dois a a milˆnios. E para que n´s tenhamos uma id´ia das dificuldades que podem surgir, vamos logo dar e o e um exemplo simples e bastante esclarecedor. Considere a soma infinita,
S = 1 − 1 + 1 − 1 + 1 − 1 + 1 − 1 + 1 − 1 + 1 − 1 + 1 − 1 + ···
Se escrevermos S = (1 − 1) + (1 − 1) + (1 − 1) + (1 − 1) + · · · , teremos S = 0. Mas podemos tamb´m escrever S = 1 − (1 − 1) − (1 − 1) − (1 − 1) − (1 − 1) − · · · e agora conclu´ e ımos que S = 1.
Ainda h´ uma terceira possibilidade, t˜o leg´ a a ıtima como as anteriores:
S = 1 − (1 − 1 + 1 − 1 + 1 − 1 + 1 − 1 + 1 − 1 + · · · ) = 1 − S ⇒ 2S = 1 ⇒ S = 1/2 .
Afinal, S = 0, S = 1 ou S = 1/2? Por que trˆs respostas diferentes? Claro que n˜o podemos e a aceitar nenhuma delas em detrimento das outras.
Este exemplo aponta para a necessidade de se conceituar o que significa “soma infinita”. Como veremos, essa conceitua¸˜o excluir´ a possibilidade de somas infinitas do tipo que acabamos de ca a considerar. E para chegar a essa conceitua¸ao devemos primeiro estudar as chamadas “seq¨ˆncias c˜ ue num´ricas”. e

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Seq¨ˆncias num´ricas ue e

Defini¸˜o 1. Uma seq¨ˆncia de n´meros reais ´ uma