Semelhança

SEMELHANÇA
Conceito: Duas figuras são semelhantes se tiverem a mesma forma (não importa o tamanho)
Exemplos

Dizemos que:
• Duas circunferências são sempre semelhantes.
• Dois quadrados são sempre semelhantes.

Polígonos Semelhantes

Considere os polígonos ABCD e A'B'C'D', nas figuras:
Observe que:
• Os ângulos correspondentes são congruentes: • Os lados correspondentes (ou homólogos) são proporcionais:

Podemos concluir que os polígonos ABCD e A'B'C'D' são semelhantes e indicamos:
ABCD ~ A'B'D'C' (lê-se "polígonos ABCD é semelhante ao polígono A'B'D'C'“)
Ou seja:
• Dois polígonos são semelhantes quando os ângulos correspondentes são congruentes e os lados correspondentes são proporcionais.
A razão entre dois lados correspondentes em polígonos semelhantes denomina-se razão de semelhança, ou seja: A razão de semelhança dos polígonos considerados é k =

Obs.: A definição de polígonos semelhantes só é válida quando ambas as condições são satisfeitas: Ângulos correspondentes congruentes e lados correspondentes proporcionais. Apenas uma das condições não é suficiente para indicar a semelhança entre polígonos.
Propriedades
Se dois polígonos são semelhantes, então a razão entre seus perímetros é igual à razão entre as medidas de dois lados homólogos quaisquer dos polígonos.
Demonstração:
Sendo ABCD ~ A'B'C'D', temos que:

Os perímetros desses polígonos podem ser assim representados:
Perímetro de ABCDE (2p) = AB + BC + CD + DE + EA
Perímetro de A'B'C'D'E' (2p') = A'B' + B'C' + C'D' + D'E' + E'A'
Por uma propriedade das proporções, podemos afirmar que: Exemplo:
Os lados de um triângulo medem 3,6 cm, 6,4 cm e 8 cm. Esse triângulo é semelhante a outro cujo perímetro mede 45 cm. Calcule os lados do segundo triângulo.
Solução
Razão de semelhança = Logo, os lados do segundo triângulo são 9 cm, 16 cm e 20 cm.
Semelhança de triângulos Observe os triângulos:

-- Os ângulos