Semana 13ap

Universidade de Bras´ılia
Departamento de Matem´atica

C´ alculo 1
Lista de Aplica¸ c˜ oes – Semana 13
Temas abordados: Integral Indefinida; Regra da Substitui¸c˜ao
Se¸c˜oes do livro: 5.5
1) No momento em que um carro est´a a 72km/h o motorista aciona os freios, desacelerando a uma taxa de 2.5m/s. Lembrando que 3.6km/h corresponde a 1m/s, e denotando por t = 0 o instante em que o motorista come¸ca freiar, resolva os itens abaixo.
(a) Determine a velocidade v(t) para t ≥ 0. Calcule Tp , o tempo de parada do carro ap´os o in´ıcio da frenagem.
(b) Encontre s(t), a fun¸c˜ao posi¸c˜ao do ve´ıculo a partir do instante de frenagem. Mostre que s′ (t) > 0, 0 ≤ t < Tp .
(c) Supondo que o tempo de rea¸c˜ao do motorista seja de 1 segundo e usando o item (b), encontre a distˆancia total percorrida pelo ve´ıculo at´e parar.
(d) Repita os itens (a),(b) e (c), supondo que o veloc´ımetro marcasse 144km/h.
2) Inicialmente, 3g de s´odio s˜ao dissolvidos em um recipiente com 6l de a´gua. Uma solu¸c˜ao s´odica passa a ser bombeada para dentro do recipiente a uma taxa de 0, 5l por minuto, sendo que depois de ser bem misturada ´e drenada na mesma taxa. Considerando-se Q(t) a quantidade de sal ap´os t minutos segue que
Q′ (t) = Te − Ts , onde Te e Ts denotam, respectivamente, as taxas de entrada e sa´ıda de sal.
Q(t)
(a) Supondo que a concentra¸c˜ao que entra seja de 2g/l, mostre que Te − Ts = 1 −
12
para concluir que
Q(t)
Q′ (t) = 1 −
.
(1)
12
(b) Multiplicando a equa¸c˜ao (1) por et/12 , mostre que
′
t/12

e

Q(t)

= et/12 .

(2)

(c) Fa¸ca substitui¸c˜ao t = 12z para encontrar uma primitiva de et/12 . Conclua da equa¸c˜ao acima que
Q(t) = Ce−t/12 + 12.
(d) Use que Q(0) = 3 para encontrar C na express˜ao acima. Qual seria a quantidade de sal no recipiente ap´os os primeiros 12 minutos?
(e) Encontre a quantidade de sal no recipiente ap´os um longo tempo.

Lista de Aplica¸c˜oes da Semana 13 - P´agina 1 de 2

3) Suponha que a temperatura T (t) de um corpo imerso em um meio com temperatura