Semana 13ex

Universidade de Bras´ılia
Departamento de Matem´atica

C´ alculo 1
Lista de Exerc´ıcios – Semana 13
Temas abordados: Integral Indefinida e Regra da Substitui¸c˜ao
Se¸c˜oes do livro: 5.5
1) Calcule as integrais abaixo.
(a)

x(x2 + 1)2013 dx

(b)

tan(x)dx

(c)

ee ex dx

(d)

√ x x − 1dx

(f)

sen2 (θ)dθ

(h)

(1 + e−at ) 2 e−at dt

(e)
(g)
(i)

x

1
√ dv v(1 + v)5 arcsen(y) dy
2 1 − y2
√

sen(x)sen2 (x)dx

3

√

(j)

x + 1dx.

2) Calcule as integrais abaixo usando a Regra de Substitui¸c˜ao, quando necess´ario. e 1 √ ln(t) (b)
(a)
dt x 1 − x2 dx t 1
0
0

(c)

0

sen(t) cos(t)dt

(d)
1

−π/2

−xe−x

2 /2

dx

3) Em cada um dos itens abaixo, determine uma fun¸c˜ao cuja derivada coincida com a fun¸c˜ao dada. 5
1
−
(a) f (t) = −2 cos(t)
(b) f (x) = x 1 + x2
(c) f (t) = 3t2 +

t
2

(d) f (θ) = 7 sen(θ/3)

√
√
(e) f (x) = ( x + 3 x)

(f) f (x) =

e−x + √

3
1 − x2

4) Lembrando que duas fun¸c˜oes que possuem a mesma derivada em um intervalo diferem por uma constante, determine a fun¸c˜ao y(x) que satisfaz as condi¸c˜oes abaixo.
(a) y ′(x) = e3x + 5e−x e o gr´afico de y passa pelo ponto (0, −5)

(b) y ′(x) = 1 + tan2 (x),

y(0) = 2

(c) y ′(x) = x−2 − 6x2 − 13 ,

y(1) = −1

(d) y ′(x) = 2x(1 − x−3 ) e o gr´afico de y passa pelo ponto (2, 3)
5) Use uma mudan¸ca de vari´aveis (substui¸c˜ao) para demonstrar as duas afirma¸c˜oes abaixo.
Em seguida, fa¸ca uma interpreta¸c˜ao geom´etrica de cada uma delas. a (a) se f ´e par ent˜ao

a

f (x)dx = 2
−a

f (x)dx
0

Lista de Exerc´ıcios – Semana 13 - P´agina 1 de 3

a

(b) se f ´e ´ımpar ent˜ao

f (x)dx = 0.
−a

6) Suponha que a velocidade m´ınima para que um objeto escape da for¸ca gravitacional da
Terra seja dada por
1
dx, vdv = −MG x2 onde M representa a massa da Terra, G a constante gravitacional e x a distˆancia at´e o centro da Terra. Considere que no instante inicial x = R, R o raio da Terra, e mostre que v e x est˜ao relacionados pela equa¸c˜ao v 2 = v02 + 2MG

1
1
,
−
x R

onde v0 ´e a velocidade inicial.
7) A velocidade