Secao 3 3 S

970 palavras 4 páginas

SEÇÃO 3.3

3.3

DERIVADAS DE FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS

 1

SOLUÇÕES

1. y = sen x + cos x



dy/dx = cos x – sen x

2. y = cos x – 2 tg x



dy/dx = –sen x – 2 sec2 x

3. y = ex sen x

æ sen 8t ö÷ sen 8t
8ççç
8 lim
÷
sen 8t è 8t ø÷ t0 8t = 8 ⋅ 1 = 8
= lim
=
12. lim sen 9t t  0 sen 9t t  0 æ sen 9t ö
9 ⋅1 9
÷÷
9 lim
9ççç
t0 è 9t ø÷
9t



dy/dx = ex (cos x) + (sen x) ex = ex (cos x + sen x)
4. y =

5. y =

tg x

x

æ sen q ö÷ sen 2 q sen q lim sen q
= lim ççç
÷ sen q = lim ø q0 q0è q ÷ q0 q q q0
= 1⋅ 0 = 0

13. lim

dy x sec2 x - tg x
=
dx x2 14. lim

x0

sen x

1 + cos x dy (1 + cos x) cos x - sen x (-sen x)
=
dx
(1 + cos x)2

=

cos x + cos2 x + sen 2 x
(1 + cos x)2 cos x + 1
1
=
=
2
1
cos x
+
(1 + cos x)

=





dy/dx = (–cossec x cotg x) cotg x + cossec x (–cossec2 x)
= –cossec x (cotg2 x + cossec2 x)

17. Usando a identidade sen2 q =

1 – cos x = 2

 y¢ = 2 cos x  a inclinação da reta

tangente em ( p6 , 1) é 2cos p6 = 2 ⋅ y - 1 = 3 (x -

p
6

) ou y =

3
2

= 3 e uma equação é

3x + 1-

1
4

tg 3x tg 3x
16. lim
= lim 3 x tg 2x x  0 3 tg 2 x x0 2
2x
sen 3x
1
⋅ lim x

0
1
3x cos 3 x
=
2 lim sen 2x ⋅ lim 1 x0 x  0 cos 2 x
2x
1 1⋅1 1
= ⋅
=
2 1⋅1
2

= sen q – sen q tg q + sen q sec2 q + sec q

9. y = 2 sen x

⋅1⋅1 =

sen 5h lim 5 h0 5h
=
3 lim sen 3h ⋅ lim 1 h0 h  0 cos 3h
3h
5 1
5
= ⋅
=
3 1⋅1 3

y¢ = tg q (cos q – sen q) + (sen q + cos q) sec2 q

8. y = cossec x cotg x

1
4

sen 5h
5
sen 5h
5h
15. lim
= lim tg 3h h  0 tg 3h h0 3
3h

x
6. y =

sen x + cos x
(sen x + cos x) - x (cos x - sen x) dy = dx (sen x + cos x)2
(1 + x)sen x + (1 - x) cos x
=
sen 2 x + cos2 x + 2 sen x cos x
(1 + x)sen x + (1 - x) cos x
=
1 + sen 2x
7. y = tg q (sen q + cos q)

tg x
1 sen x
1
= lim
⋅
x0 4
4x
x cos x
1
sen x
1
= lim lim 4 x  0 x x  0 cos x

lim

3p
.
6

x0

sen2

1
2

(1 – cos 2q), ou

(x/2), temos

1 - cos x
2 sen 2 ( x /2)
= lim
2
0 x 
2x
2 x2
2

1é sen ( x /2) ù ê lim ú ê
0
x

4ë x /2 úû
1
1
= (1)2 =
4
4
Outro Método: Multiplique o

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