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CAPÍTULO 21
DERIVAÇÃO IMPLÍCITA

FUNÇÕES IMPLÍCITAS E EXPLÍCITAS

Até agora, estudamos funções que envolvem duas variáveis que se apresentam de forma explícita : y = f(x), isto é, uma das variáveis é fornecida de forma direta
(
explícita ) em termos da outra. y = 4x - 5
Por exemplo : s = -25t² - 18t u = 9w – 35w²
Nelas dizemos que y, s, e u são funções de x, t e w, EXPLICITAMENTE. Muitas funções, porém, apresentam-se na forma implícta, veja o exemplo abaixo:
● Ache a derivada

dy da função xy = 1. dx dy dx : Derivada de y em relação à x.

RESOLUÇÃO : Nesta equação, y esta definida IMPLICITAMENTE como uma função de x. Podemos obter, portanto, a equação em relação à y e daí diferencia-la.
● xy = 1 ( Forma implícita )
●y=

1
( Escrever a relação y em função de x ) x ● y = x –1 ( Escrever sob nova forma )
●

dy
= - x – 2 ( Derivar em relação a x ) dx ●

dy
1
= - 2 ( Simplificar ) dx x

Este processo só é possível quando podemos explicitar facilmente a função dada, oque não ocorre, por exemplo, com y4 + 3xy + 2lny = 0.
Para tanto, podemos utilizar um método chamado
DERIVAÇÃO (
OU DIFERENCIAÇÃO ) IMPLÍCITA, que nos permite derivar uma função sem a necessidade de explicitá-la.
DERIVAÇÃO IMPLÍCITA

Esta derivação é feita em relação a x. Resolvendo normalmente as derivadas que envolvam apenas x. Quando derivamos termos que envolvem y, aplicaremos a Regra da
Cadeia, uma vez que y é uma função de x.
Exemplos :
1 ) 2x + y³
Resolução :
Sendo y uma função de x, devemos aplicara regra da cadeia para diferenciar em relação a x, daí : d d d dy
( 2 x  y 3 )  ( 2 x)  ( y 3 )  2  3 y 2 dx dx dx dx

2 ) x + 3y
Resolução :

d d d dy ( x  3 y)  x  (3 y)  1  3 dx dx dx dx

3 ) xy²
Resolução :

Regra da cadeia

d d dy
( xy 2 )  1. y 2  x. ( y 2 )  y 2  2 xy dx dx dx 4 ) 4x² + 9y² = 36
Resolução :

d d dy dy  8 x dy  4 x
(4 x 2  9 y 2  36)  8 x  (9 y 2 ) 