resumo testes de convergência
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Disciplina: Cálculo Diferencial e Integral 2Resumo dos Testes de Convergência
Nome
Teste da
Divergência
Afirmação
∞
Se lim a n ≠ 0 ou não existe então x →∞
∑
a n diverge.
n=1
Teste da
Comparação
∞
Sejam
∞
∑ ∑
∑
∑
∑ ∑ an e
n=1
b n com 0 < an ≤ bn , para todo n.
n=1
∞
a)
∞
∑
∑
b n converge então
Se
n=1
∞
n=1
∞
a n diverge então
b) Se
b n diverge.
n=1
Teste da
Comparação no
Limite
∞
Sejam
a n converge
n=1
∞
an e
n=1
b n séries de termos positivos.
n=1
an
= L > 0, então ambas as séries convergem ou ambas divergem. bn a) Se lim
n →∞
∞
a
b) Se lim n = 0, e se n→∞ b n an
= ∞, e se bn c) Se lim
n→∞
Teste da
Integral
∑
∑
∞
b n converge então
n=1
∞
a n converge.
n=1
∞
b n diverge então
n=1
a n diverge.
n=1
Seja f uma função contínua, decrescente e positiva para todo n ≥ a e tal que an = f (n) para n ≥ a .
∞
∫
a) Se
∞
f(x) dx converge ⇔
∑
b) Se
∫
∞
f(x) dx diverge ⇔
a
∑
a n diverge.
n=a
∞
Seja
∑
a n converge.
n=a
a
∞
Teste da Série
Alternada
( Critério de
Leibniz)
∑
∑
(-1) n a n com an > 0, ∀ n . Se
n=1
a) an +1 ≤ an , ou seja , {an } decrescente
b) lim a n = 0 n→∞ Então a série alternada converge.
∞
Teste da Razão
Seja a série
∑
a n então :
n=1
a) lim
a n+1
= L < 1, a série é absolutamente convergente. an b) lim
a n+1 a = L > 1, ou lim n+1 = ∞ a série diverge. n →∞ an an
n →∞
n →∞
lim
c)
n→∞
a n+1
= 1, nenhuma conclusão. an ∞
Teste da Raiz
Seja a série
∑a
n
então :
n=1
i ) lim
a n = L < 1, a série é absolutamente convergente.
n
n→∞
ii ) lim
n
iii ) lim n →∞
a n = L > 1, ou se lim
n →∞
n→∞ n n
a n = ∞, a série é divergente.
a n = 1, nenhuma conclusão.