Respostas

´ Calculo 2 - Engenharia Ambiental/UAB-UFSCar

´ Prof. Dr. Marcio de Jesus Soares
´ Departamento de Matematica/CCET ˜ UFSCar/Sao Carlos

abril de 2013

´ Sumario
APRESENTACAO ¸˜ 1 Curvas e superf´cies ı 1.1 Curvas planas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2 Superf´cies . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ı 1.2.1 Cilindros . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2.2 Superf´cies de revolucao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ı ¸˜ ´ 1.2.3 Quadricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.3 Funcoes vetoriais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ¸˜ 1.3.1 Curva espacial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.3.2 Fazendo operacoes com funcoes vetoriais ¸˜ ¸˜ 1.4 Limite e continuidade . . . . . . . . . 7 9 11 17 18 19 21 29 30 31 32 33 39 41 42 45 52 52 55 58 60

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1.5 Derivacao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ¸˜ ´ ´ 2 Funcoes de varias variaveis ¸˜ 2.1 Definicao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ¸˜ 2.1.1 Curvas e superf´cies de n´vel . . . . . . . . . . . . . . . . . ı ı 2.2 Limite e continuidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2.3 Derivacao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ¸˜ 2.3.1 Derivadas parciais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.3.1.1 Derivadas parciais de ordens superiores . . . . .

2.3.2 Regra da cadeia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.3.3 Derivacao impl´cita . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ¸˜ ı ´ ´ 3 Funcoes de varias variaveis: ¸˜ Diferenciabilidade 5

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3.1 Diferenciabilidade e Diferenciais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.1.1 Diferenciais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ´ 3.1.2 Funcoes com mais de duas variaveis . . . . . . . . . . . . ¸˜ 3.2 Derivada direcional e gradiente . . . .