Resolução de questão de Análise.

Integra¸ c˜ ao
Resolu¸c˜ao da quest˜ ao 29 do trabalho
Quest˜
ao 29 b g(x)dx = 0,ent˜ ao, para toda f : [a, b] → R

Quest˜ ao 29: Seja g : [a, b] → R integr´ avel e n˜ao-negativa. Se a b

f (x)g(x)dx = 0.

integr´ avel, tem-se a • Solu¸ c˜ ao: Antes de resolvermos a quest˜ ao, vamos provar o seguinte Lema: Seja f : [a, b] → R integr´ avel. As seguintes afirma¸c˜oes s˜ ao equivalentes: b |f (x)| dx = 0;

1. a 2. Se f ´e cont´ınua no ponto c, ent˜ ao f (c) = 0;
3. X = {x ∈ [a, b] ; f (x) = 0} tem interior vazio.
Demontra¸
c˜ ao: 1 ⇒ 2 Suponha que f seja cont´ınua em c ∈ [a, b] , da´ı, |f | ser´a cont´ınua em c. Agora suponha que f (c) = 0, da´ı, |f (c)| > 0. Assim, a continuidade de |f | em c, garante a existˆencia de um δ > 0; ∀x ∈ [c − δ, c + δ] ∩ [a, b] , |f (x)| > 0 . Agora por abuso de nota¸c˜ao tome o intervalo n˜ao degenerado
[α, β] = [c − δ, c + δ] ∩ [a, b] . Assim, x ∈ [α, β] , f (x) > 0. E ainda, por densidade, existe um ǫ > 0 racional tal que 0 < ǫ < f (x), ∀x ∈ [α, β]. Ademais, como f ´e integr´ avel em [a, b], segue que |f | tamb´em ser´a, da´ı, b β

|f (x)| dx = 0

|f (x)| dx ≤

em particular |f | ser´a integr´ avel em [α, β], donde segue que 0 < ǫ(β − α) ≤ α absurdo!! Logo se f ´e cont´ınua no ponto c, ent˜ ao, f (c) = 0. Como quer´ıamos provar.

a

2 ⇒ 3 De fato, seja D ⊂ [a, b] o conjunto dos pontos de descontinuidade de f . Por 2, segue que
X = {x ∈ [a, b] ; f (x) = 0} ⊂ D e como f ´e integr´ avel, segue do teorema de Lebesque que D tem medida nula, e portanto, X tamb´em tem medida nula. Afirmamos que X tem interior vazio. De fato, pois do contr´ario existiria um x ∈ intX e portanto, existiria tamb´em ǫ > 0; (x − ǫ, x + ǫ) ⊂ X. Ora, X tem medida nula ent˜ ao, ∞

|In | < δ.

∀δ > 0 existe uma quantidade enumer´avel intervalos abertos I1 , I2 , ... tal que X ⊂ I1 ∪ I2 ∪ ..... e n=1 ∞

|In | < δ. Ora, em particular tome δ = 2ǫ, da´ı ter´ıamos, 2ǫ < 2ǫ absurdo!! Logo