Relações áureas no pentagrama

Relações áureas contidas no Pentagrama

O pentagrama é rico em relações áureas. É a figura formada pela união das diagonais de um pentágono. Está baseado em triângulos isósceles cujos ângulos da base são o dobro do ângulo oposto à base, sendo todos os ângulos múltiplos de 36°. O número de ouro e a secção áurea são dois dos mais curiosos números da matemática, aparecendo de forma surpreendente em diversos problemas que não possuem relação entre si. Em especial o encontramos no Pentagrama, figura digna de respeitos por vários admiradores, pois possui diversas representações e significados, evoluindo ao longo da história. No triângulo isósceles, sabe-se que dois de seus ângulos são iguais (a = a). Cada um deles é o dobro do terceiro (a = 2b) e que a soma dos três é 180° (a + a + b = 180°).
2.a + b = 180 ; a = 2.b
Substituindo na primeira o valor de “a” obtido na segunda vem:
2(2.b) + b = 180 // Logo: 5.b = 180 ou b = 180/5 = 36 // onde: a = 2.b = 72.
Seus ângulos são, portanto, a = 72º e b = 36º. [pic]
Figura 1: Triângulo isósceles onde a = 2b

Traça-se a bissetriz do ângulo “a” da esquerda da base do triângulo. Isso deixa o triângulo com o aspecto da abaixo, onde se definem quatro pontos A; B; C e D. Assim, pode-se designar os segmentos de reta pelos pontos situados em suas extremidades (como os lados AB, BC e CA do triângulo e o trecho da bissetriz AD) e os ângulos pelos pontos situados em uma das extremidades de um lado, no vértice e na extremidade do outro lado, nessa ordem, como o ângulo DÂC assinalado em verde na figura 2.

[pic] Figura 2: Triângulo com bissetriz

Sendo AD a bissetriz do ângulo CAB, que mede 72º, o ângulo DAC medirá justamente a metade, portanto 36º. Sabendo disso, e sabendo ainda que a soma dos três ângulos internos de qualquer triângulo é 180º, poderemos determinar o valor de todos os demais ângulos da figura fazendo algumas contas simples. O