Regress o Linear Simples

AJUSTE DE RETAS PELO MÉTODO DOS MÍNIMOS QUADRADOS

Consideremos n pontos do plano cartesiano, não todos situados numa mesma vertical, cujas coordenadas são (x1, y1), (x2, y2), ... (xn, yn). Suponhamos que o gráfico desses pontos sugira uma relação linear entre y e x.

Há inúmeras maneiras de obter uma reta que se adapte aos pontos (com uma régua, por exemplo). Contudo, um método que é frequentemente utilizado, em virtude das boas qualidades que possui, é o método dos mínimos quadrados.
A idéia básica do método consiste no seguinte: entre as infinitas retas que existem, uma delas, de equação y = ax + b, será aquela que tornará mínima a soma dos quadrados dos desvios () em que .
Tal reta é chamada de reta dos mínimos quadrados, cuja equação iremos determinar.

Exemplo: Um monopolista deseja obter empiricamente uma equação de demanda para seu produto. Ele admite que a quantidade média demandada (y) relaciona-se com seu preço unitário (x) por meio de uma função do 1º grau.
Para estimar essa reta, fixou os preços em vários níveis e observou a quantidade demandada, obtendo os dados a seguir:

Qual é a equação da reta de mínimos quadrados?
Resolução: Inicialmente, vamos escrever a seguinte tabela de dados:

xi yi xi  yi x2i 1
2
3
4
9,5
8,5
5,5
3,5
9,5
17
16,5
14
1
4
9
16

10
27
57
30

Portanto, a equação da reta procurada é y = -2,1x + 12, cujo gráfico, juntamente com os pontos dados, encontra-se na figura abaixo:

Reta de mínimos quadrados da demanda em função do preço

Coeficiente de Determinação de um Modelo Linear
O coeficiente de determinação, também chamado de R² é uma medida de qualidade do modelo linear em relação à sua habilidade de estimar corretamente os valores da variável resposta y.
O R² indica quanto da variância da variável resposta é explicada pela variância das variáveis explicativas. Seu valor está no intervalo de 0 a 1: quanto maior, mais explicativo é o modelo, ou seja, mais