RASTA

FÓRMULAS VETORES
Condição de Perpendicularismo

Vetor definido por dois pontos:

 

u • v =< u, v >= 0
Ângulo entrevetores:

u.v cos θ =  
u.v

AB = B − A
Módulo
€
€
€



Para IR 2 ⇒ v = v .v = x 2 + y 2

2
Para IR 3 ⇒ u = x 2 + y 2 + z€

Versor de


 v  v

u =  ⇒ u =1 v Cossenos diretores:

x cos α =  u €

 

u • v =< u, v >= x1 .x 2 + y1 .y 2
 

u • v =< u, v >= x1 .x 2 + y1 .y 2 + z1 .z2

€



€
€
€

€

€

Projeção de um vetor



 " u.v % 

w = proj.v u = $   '.v
# v .v &

u.v
  w = u .cos θ =  v   w = f . d .cos α

€

€

z cos γ =  u  

ou u.v = u . v .cos θ
Trabalho de uma força:

€

Ângulo entre dois vetores:

u.v cos θ =  
u.v
Condição de paralelismo:

  i j k
  uxv = x1 y1 z1 x2 y2 y2
 
  uxv = u . v sen α

 
Área do paralelogramo - A = uxv

y cos β =  u Produto escalar
€

Produto vetorial

€

€

Área do triangulo -

A=

Produto misto €

1   u xv
2

x1 y1 z1
  
  
u.(vxw) = (u, v , w) = x 2 y 2 z 2
€
x3 y3 z3
Volume do paralelepípedo:
  
V = (u, v , w)
Volume do Tetraedro
1   
VT = . (u , v , w)
6
Distancia entre dois pontos

d = (x1 − x 2 ) 2 + (y1 − y 2 ) 2 x y z €
Ponto Médio m= 1 = 1 = 1
"x + x y + y % x2 y2 z 2
PM $ 1 2 , 1 2 '
€
# 2
2 &
€
FÓRMULAS RETAS/PLANOS/POLARES/CÔNICAS
RETA:
PLANO
HIPÉRBOLEP ∈ hipérbole ⇔| PF1 − PF2 | = 2a
Equação Vetorial
Equação geral
€
 a(x − x1 ) + b(y − y1 ) + c(z − z1 ) = 0 x 2 y 2
P = A + t.v ou (x, y, z) = (x1 , y1 , z1 ) + t(a,b,c) y2 x2
− 2 = 1 ou
−
=1
" x = x1 + at a2 b a 2 b2 ou $ c € e = → exentricidade
Equação paramétrica: r : # y = y1 + bt ax + by + cz + d = 0 a $z = z + ct
Condição de paralelismo entre dois
%
(x − x 0 ) 2 (y − y 0 ) 2
1
€ planos: −
= 1 ou

Reta definida por dois pontos: v = AB a2 b2
  a1 b1 c1 n1 // n2 ⇒
=