prova monique

Universidade Federal de Ouro Preto
Departamento de Matem´tica a MTM122 - C´lculo Diferencial e Integral I a Resolu¸˜o da 3a Prova ca 1. Calcue as integrais:
(a)

x3

dx
√
x2 − 1

π
3π
ou π ≤ θ <
⇒ dx = sec(θ) tg(θ)dθ.
2
2 sec(θ) tg(θ)dθ tg(θ)dθ tg(θ)dθ dθ dx
√
=
=
=
=
=
Logo:
sec2 (θ) tg(θ) sec2 (θ) x3 x2 − 1 sec3 (θ) sec2 (θ) − 1 sec2 (θ) tg2 (θ)
1 + cos(2θ)
1
cos2 (θ)dθ =
[1 + cos(2θ)]dθ dθ =
2
2 du du
1
1 dx √
[1 + cos(u)]
Seja u = 2θ ⇒ du = 2dθ ⇒ dθ =
. Desse modo:
=
= [u + sen(u)] +
3 x2 − 1
2
2
2
4 x 1
1
1
C = [2θ + sen(2θ)] + C = [2θ + 2 sen(θ) cos(θ)] + C = [θ + sen(θ) cos(θ)] + C
4
4
2
1
1
Como x = sec(θ) ⇒ θ = arcsec(x). Tamb´m obtemos que cos(θ) = e = , e sen(θ) = 1 − cos2 (θ) = sec(θ) x
√
1 x2 − 1 x2 − 1
1− 2 =
=
x x2 |x|
√
x2 − 1 1
1
dx
√
· ]+C
= [arcsec(x) +
Portanto:
3 x2 − 1
2
|x| x x t−1 (b) dt t + t3 t−1 t−1 dt = dt 3 t+t t(1 + t2 ) t−1 A
Bt + C
A(1 + t2 ) + (Bt + C)t
A + At2 + Bt2 + Ct
Reescrevendo o integrando:
=
+
=
=
=
2)
2
2) t 1+t t(1 + t t(1 + t2 )
 t(1 + t
 A+B =0

(A + B)t2 + Ct + A
⇒ B = −A = 1
⇒
C=1

t(1 + t2 )

A = −1 t−1 A Bt + C
−1
t
1
Desse modo:
= +
=
+
+
t(1 + t2 ) t 1 + t2 t 1 + t2
1 + t2 t−1 1 t 1 t Assim: dt =
− +
+
dt + arctg(t) + c
= − ln |t| + t + t3 t 1 + t2
1 + t2
1 + t2 du du
1
t
Para resolver dt, seja u = 1 + t2 ⇒ du = 2tdt ⇒ tdt =
. Ent˜o: a = ln |u| + c =
1 + t2
2
2u
2
1
2
ln |1 + t | + c
2
t−1
1
Portanto: dt = − ln |t| + ln |1 + t2 | + arctg(t) + c t + t3
2
Seja x = sec(θ), 0 ≤ θ <

2. Calcule a ´rea da regi˜o limitada pelas curvas y = x ln(x) e y = 5 ln(x). a a
Pontos de interse¸˜o: x ln(x) = 5 ln(x) ⇔ x ln(x) − 5 ln(x) = 0 ⇔ ln(x)(x − 5) = 0 ⇒ ln(x) = 0 ou x − 5 = 0 ⇒ ca x = 1 ou x = 5

5

5

[5 ln(x) − x ln(x)]dx =

A=
1

x ln(x)dx

1

5

1

5 ln(x)dx, sejam u = ln(x) e dv = 5dx ⇒ du =