prova de mestrado da ufma

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UNIVERSIDADE FEDERAL DO MARANHAO
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CENTRO DE CIENCIAS EXATAS E TECNOLOGIA
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PROGRAMA DE POS-GRADUACAO EM MATEMATICA
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SELECAO PARA INGRESSO NO MESTRADO - 2010.1
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QUESTAO 01 (3 pontos)
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Mostre que o produto cartesiano de dois conjuntos enumer´ veis e um conjunto enumer´ vel. a a
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QUESTAO 02 (3 pontos)
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Um subconjunto A de Z e dito limitado inferiormente se existe m ∈ Z tal que m ≤ n qualquer que seja n ∈ A. Mostre que subconjuntos de Z que s˜ o limitados inferiormente possuem um menor a elemento.
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QUESTAO 03 (6 pontos)
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Enuncie e demonstre o Teorema dos Intervalos Encaixados para o conjunto R dos numeros reais.
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QUESTAO 04 (3 pontos)
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Seja (xn )n uma sequˆ ncia de numeros reais. Defina formalmente: e (a) A sequˆ ncia (xn )n converge para a ∈ R. e (b) A sequˆ ncia (xn )n n˜ o e convergente. e a ´
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QUESTAO 05 (4 pontos)
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Construa um exemplo de uma sequˆ ncia em R para a qual existe um numero real b que n˜ o e o e a ´ limite dessa sequˆ ncia, mas tal que qualquer intervalo aberto contendo b cont´ m uma infinidade e e de termos dessa sequˆ ncia. e ˜
QUESTAO 06 (6 pontos)
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Dada uma sequˆ ncia de numeros reais, seu conjunto de valores de aderˆ ncia e o conjunto que e e reune todos os limites de subsequˆ ncias dessa dada sequˆ ncia. Construa um exemplo de sequˆ ncia e e e cujos termos s˜ o distintos dois a dois e cujo conjunto dos valores de aderˆ ncia coincida com o a e
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conjunto dos numeros naturais.
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QUESTAO 07 (8 pontos)
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Sejam X ⊂ R fechado e f : X → X uma contra¸ ao, isto e, existe um numero real 0 ≤ λ < 1 tal que c˜ |f(x) − f(y)| ≤ λ|x − y| para quaisquer x, y ∈ X. Dado a ∈ X qualquer, defina a sequˆ ncia (xn )n do seguinte modo: x1 = a e ´ e xn = f(xn−1 ) para todo n > 1. Mostre que essa sequˆ ncia e de Cauchy. Conclua que f possui um e ´ unico ponto fixo em X, ou seja, um ponto x tal que f(x) = x.
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QUESTAO 08 (3 pontos)
Defina cada uma das nocoes abaixo usando