Processo de lagrange

A interpolação segundo Lagrange tem o polinômio gn(x) interpolador expresso por: gn(x) = f(x0).L0(x) + f(x1).L1(x) + f(x2)L2(x) + … f(xn).Ln(x) onde Lk(x) são polinômios de grau n.
Para cada i, deverá ser satisfeita a condição: gn(xi) = y0L0(xi) + y1L1(xi) + ....+ ynLn(xi) = f(xi), o que implica em Lk(xi) = 0 se k ¹ i e Lk(xk) = 0.
Desta forma, Lk(x) deve ser definida por Note que não configura no numerador o termo (x – xk) e no denominador o termo (xk – xk).
Sendo o numerado um produto de n fatores de primeiro grau, o grau de Lk(x) é um polinômio de grau n. Consideremos por exemplo determinar por Lagrange, o polinômio que melhor se ajuste aos pontos Temos: g2(x) = f(x0).L0(x) + f(x1).L1(x) + f(x2)L2(x)
Calculando os polinômios de Lagrange:
L0(x) = (x – x1).(x – x2)/(x0 – x1).(x0 – x2) = (x – 2).(x – 3)/(1 – 2).(1 – 3) = (x2 – 5x + 6)/2.
Note que não foram usados (x – x0) e (x0 – x0).
L1(x) = (x – x0).(x – x2)/(x1 – x0).(x1 – x2) = (x – 1).(x – 3)/(2 – 1).(2 – 3) = (x2 – 4x + 3)/(-1).
Note que não foram usados (x – x1) e (x1 – x1).
L2(x) = (x – x0).(x – x1)/(x2 – x0).(x2 – x1) = (x – 1).(x – 2)/(3 – 1).(3 – 2) = (x2 – 3x + 2)/2.
Assim: g(x) = 2.[(x2 – 5x + 6)/2] + 2.[(x2 – 4x + 3)/(-1)] + 4.[(x2 – 3x + 2)/2]
Efetuando as multiplicações e reduzindo os termos semelhantes, resulta finalmente: g(x) = x2 –3x + 4. (veja o primeiro exemplo do item