probab

CÁLCULO NUMÉRICO
1ª LISTA DE EXERCÍCIOS
1) Considerando os números: x1 =

5
27

, x2 =

22
81

, x3 =

23
243

, x4 =

29
137

Assinale a alternativa correta:
a) Todos eles têm expansão finita na base 3.
b) Nenhum deles tem expansão finita na base 3.
c) Apenas x 1 tem expansão finita na base 3.
d) Apenas x 4 tem expansão finita na base 3.
e) Os números x 1 , x 2 , x 3 têm expansão finita na base 3.
Justifique sua escolha.

2) Verdadeiro ou falso? Todo número irracional x tem expansão infinita em qualquer base inteira b. Justifique sua resposta.

3) Considere a equação: x 3 + 3x − 4 = 0
a) Fazendo fx = x 3 + 3x − 4, verifique que f0, 99 < 0 e f1, 001 > 0.
b) Fazendo a = 0, 99 e b = 1, 001, verifique que f ╱ x > 0 para todo x ∈ a, b.
c) Usando o método da bisseção, quantas iterações são necessárias para obter uma aproximação para a raiz real da equação acima com erro menor do que 10 −8 ?

4) A equação x 3 − a = 0 possui a raiz real 3 a . Mostre que para a função de iteração: ϕx = x 3 + x − a não existe intervalo I contendo tal raiz, de forma que se tenha certeza de que o processo iterativo x n+1 = ϕx n , n = 0, 1, 2, … , x 0 ∈ I, convirja para tal raiz.

5) Seja ϕ uma função definida num intervalo a, b que contém uma solução θ da equação ϕx = x. Mostre que nas seguintes condições:
a) Existe k < 1 tal que |ϕx 1  − ϕx 2 | ≤ |x 1 − x 2 | para quaisquer x 1 , x 2 ∈ a, b.
b) ϕx ∈ a, b para todo x ∈ a, b, a sequência x n+1 = ϕx n , n = 0, 1, 2, … , converge para θ para qualquer x 0 ∈ a, b.

6) Seja f uma função definida e contínua num intervalo I = a, b, com fafb < 0, tal que f ╱ x não muda de sinal quando x percorre o intervalo a, b. Mostre que a equação fx = 0 é equivalente à equação ϕx = x, onde ϕx = x + cfx, para toda constante c diferente de 0.

7) Considerando a equação: x 3 + 3x − 4 = 0

a = 0, 99 e b = 1, 001, seja ϕ definida no intervalo a, b por: