primeira avaliação a distancia

Funda¸˜o Centro de Ciˆncias e Educa¸˜o Superior a Distˆncia do Estado do Rio de Janeiro ca e ca a
Centro de Educa¸˜o Superior a Distˆncia do Estado do Rio de Janeiro ca a

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AD1 – CALCULO III – GABARITO – 2012-2

Nome:

Matr´ ıcula: Polo:

Data:
Aten¸˜o!
ca

∙ Identifique a Prova, colocando Nome, Matr´ ıcula, ∙ O desenvolvimento das quest˜es pode ser a l´pis. No entanto, o a
Polo e Data; as respostas dever˜o estar necessariamente ` caneta; a a
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´
∙ E expressamente proibido o uso de calculadoras; ∙ E expressamente proibido o uso de corretivo nas respostas.
∙ Devolver a prova e a folha de respostas ao respons´vel; a Exerc´ ıcio 1 (1.5 pts) .
(a) Considere os pontos 𝑃 (1, 5) e 𝑄(2, 7). Determine uma parametriza¸˜o das seguintes curvas: ca (i) parte da reta 𝑦 = 2𝑥 + 3, que tem in´ no ponto 𝑄 e t´rmino no ponto 𝑃 ; ıcio e
(ii) parte da par´bola 𝑦 = 𝑥2 − 𝑥 + 5, que tem in´ no ponto P e t´rmino no ponto 𝑄. a ıcio e (b) Determine uma parametriza¸˜o para a curva de interse¸˜o entre o hiperboloide 𝑥2 + 𝑦 2 − 𝑧 2 = 4, ca ca
𝑧 ≥ 0 e o plano 𝑦 + 2𝑧 = 5.
Solu¸˜o:
ca
(a) Notemos que os pontos 𝑃 e 𝑄 pertencem a reta 𝑦 = 2𝑥 + 3 e a par´bola 𝑦 = 𝑥2 − 𝑥 + 5. a (i) Seja 𝛼(𝑡) = (𝑥(𝑡), 𝑦(𝑡)) uma parametriza¸˜o para o segmento de reta que une os pontos
⃗
ca
𝑄 e 𝑃 . Essa parametriza¸˜o ´ representada pela fun¸˜o vetorial 𝛼(𝑡) = 𝑄 + 𝑡 (𝑃 − 𝑄), ca e ca ⃗ em que 0 ≤ 𝑡 ≤ 1. Assim, para 𝑄 = (2, 7), 𝑃 = (1, 5), temos que
𝛼(𝑡) = (2, 7) + 𝑡 ((1, 5) − (2, 7)) , 𝑡 ∈ [0, 1]
⃗
= (2, 7) + 𝑡 (−1, −2), 𝑡 ∈ [0, 1]
= (2 − 𝑡, 7 − 2𝑡), 𝑡 ∈ [0, 1].
Portanto, 𝛼(𝑡) = (2 − 𝑡, 7 − 2𝑡), com 𝑡 ∈ [0, 1] representa o segmento de reta que tem
⃗
in´ em 𝑄 e t´rmino em 𝑃 . ıcio e
⃗
(ii) Seja 𝛽(𝑡) = (𝑥(𝑡), 𝑦(𝑡)) uma parametriza¸˜o para a par´bola. Podemos usar sua equa¸˜o ca a ca cartesiana para resolver esse item do exerc´ ıcio. Fazendo 𝑥(𝑡) = 𝑡, com 𝑡 ∈ [1, 2] em
2
2
⃗