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1Notas de aulas
Equações diferenciais e campos vetoriais
z
y
x
Prof. Edson Arnaldo Mendes
Uninove – 2.013
Departamento de ciências exatas
2
CAPÍTULO I
INTEGRAIS DE LINHA
A integral de linha é muito parecida com a integral simples, porém, ao invés de integrarmos em um intervalo
[ a, b ], integraremos sobre um curva “C”.
()
Seja C uma curva paramétrica onde {
[
;
]
ou, dada
pela equação
vetorial
()
r(t) = x(t) i + y(t) j.
Pi* ( xi*, yi* ) y Pi-1
• • •
P2 •
Pi
C
•
Pn
Δ
P1 •
•P0 x 0
a
• • • t1-i ti *
b
ti
t
● Análogo à soma de Riemann, no gráfico acima, temos {
portanto, se existir o limite, temos
∫ (
)
,
∑ (
)
Integral de linha de f, definida sobre curva C, ou integral de linha de f sobre C.
abaixo
3
Como a curva C é expressa na forma paramétrica, temos que o comprimento do arco é dado
∫ √( )
pela expressão
∫ (
( )
, portanto temos :
∫ [ ( ) ( )] √(
)
)
(
)
Se, quando t cresce de a para b, cada ponto da curva for atingido uma única vez, o valor da integral de linha, não dependerá da parametrização da curva.
Caso s(t) seja o comprimento da curva
√( )
√( )
( )
C entre r(a) e r(t), podemos concluir que
( )
.
Lembrando também que, sendo C um segmento de reta unindo ( a, 0 ) e ( 0, b ) com “x” o parâmetro, podemos escrever
{
;
[
], daí temos ∫
(
)
∫ (
)
.
Da mesma forma que podíamos associar uma integral simples de uma função positiva, a uma área sob a curva, também poderemos associar a integral de linha a uma área de um lado da “cerca”, ou “parede” com base na curva C e altura f(x, y), acima do ponto (x, y). z {
y
f(x, y) x •
(x, y)
C
4
Exemplos :
1 ) Calcule ∫ (
)
; onde C é a metade superior da circunferência x² + y² = 1.
Resolução :
Em C.D.I II vimos que uma circunferência x² + y² = r² pode ser parametrizada