Parte 6 Calc 2B Derivadas Parciais

PARTE 6
DERIVADAS PARCIAIS

6.1 Introdu¸c˜ ao Vamos falar agora das derivadas parciais de uma fun¸c˜ao real de v´arias vari´aveis reais, f : Dom(f ) ⊆ Rn −→ R. Para simplificar, vamos come¸car com uma fun¸c˜ao em R2 , para s´o depois generalizar o conceito de derivada parcial para fun¸co˜es em Rn .
Seja

f : Dom(f ) ⊆ R2 −→ R
(x, y)
→ z = f (x, y)

Vamos fixar y = y0 e, com isto, criar uma fun¸c˜ao da reta na reta, gy0 , definida como gy0 (x) := f (x, y0 ).
Esta nova fun¸ca˜o definida ´e uma fun¸ca˜o real de vari´avel real, bem estudada em C´alculo
1A, para a qual sabemos aplicar o conceito de diferenciabilidade. Sendo assim, se gy0 for diferenci´avel em x0 , temos que existe gy0 (x0 ), a qual ´e dada pelo limite abaixo gy0 (x0 + h) − gy0 (x0 )
.
h→0 h gy0 (x0 ) = lim

Definimos ent˜ao a derivada parcial de f com rela¸c˜ ao a x no ponto (x0 , y0 ), denotada
∂f
por
(x0 , y0 ), como
∂x
∂f gy (x0 + h) − gy0 (x0 )
(x0 , y0 ) = gy0 (x0 ) = lim 0
,
h→0
∂x
h isto ´e,

f (x0 + h, y0 ) − f (x0 , y0 )
∂f
(x0 , y0 ) = lim
.
h→0
∂x
h
Encontramos tamb´em outras nota¸co˜es para a derivada parcial da fun¸ca˜o f com rela¸c˜ao
∂f
= ∂x f = fx = D x f = D 1 f .
`a vari´avel x. Elas s˜ao:
∂x
Vamos fazer a mesma coisa, s´o que agora com a vari´avel x. Isto ´e, vamos fixar x = x0 e criar a fun¸c˜ao da reta na reta, hx0 , definida como hx0 (y) := f (x0 , y).
92

C´ alculo 2B - Notas de Aula (em constru¸ c˜ ao) - Prof a Denise 2011.2 93
Esta nova fun¸c˜ao definida tamb´em ´e uma fun¸ca˜o real de vari´avel real. Se hx0 for diferenci´avel em y0 , temos que existe hx0 (y0 ) a qual ´e dada pelo limite hx0 (y0 + k) − hx0 (y0 )
.
k→0 k hx0 (y0 ) = lim

Definimos ent˜ao a derivada parcial de f com rela¸c˜ ao a y no ponto (x0 , y0 ), denotada
∂f
por
(x0 , y0 ), como
∂y
∂f hx (y0 + h) − hx0 (y0 )
(x0 , y0 ) = hx0 (y0 ) = lim 0
,
k→0
∂y
k isto ´e

∂f f (x0 , y0 + k) − f (x0 , y0 )
(x0 , y0 ) = lim
.
k→0
∂y
k
As nota¸c˜oes para a derivada parcial da fun¸ca˜o f com rela¸ca˜o `a vari´avel y, s˜ao