Oscilações forçadas

UNIVERSIDADE FEDERAL DO PARÁ
INSTITUTO DE TECNOLOGIA
FACULDADE DE ENGENHARIA DE ALIMENTOS
DISCIPLINA: CALCULO III
PROFESSORA: CHRISTIANNE RUIZ

OSCILAÇÕES FORÇADAS (RESSONÂNCIA)

BELÉM
OUTUBRO – 2012

Muitas vezes na prática é importante a manutenção do movimento do oscilador apesar da existência das forças dissipativas. Para este fim são introduzidas forças externas que realizando trabalhos suprem o oscilador da energia consumida pelas forças dissipativas, neste caso termos as chamadas oscilações forçadas.
Um exemplo simples são os mecanismos oscilantes dos relógios, onde através de forças produzidas por uma corda ou por um sistema elétrico (fontes excitadoras) é possível manter as oscilações. Outro exemplo é a manutenção do movimento dos balanços por crianças, que utilizam os movimentos de seu corpo (fonte excitadora) para dar pequenos impulsos a cada ciclo. Ressonância é o fenômeno que ocorre quando a freqüência da fonte excitadora é igual à freqüência natural do oscilador. A ressonância produz a máxima transferência de energia da fonte excitadora, produtora das oscilações forçadas, para o sistema oscilante. Esta máxima transferência de energia acarreta um grande aumento da amplitude do movimento do oscilador, que pode levar o sistema oscilante ao colapso. O estudo da ressonância é de grande importância para a física e a engenharia.
Existem teoremas e métodos para a resolução de uma equação diferencial não homogênea, considere uma equação diferencial não homogênea.

Onde f(x), g(x) e r(x) são continuas em intervalo aberto I. A equação homogênea associada é

Onde fizemos r(x)= 0
Teorema 1: Sejam Y1 e Y2 duas soluções da equação não homogênea Eq. (1). Então Y1 - Y2 é uma solução da equação homogênea associada
Se alem disto, {y1,y2} é um conjunto fundamental das soluções da Eq. (1), então

Demonstração:
Como Y1 e Y2 são soluções da equação 1