Operações elementares

Operações elementares
De modo análogo aos sistemas de equações lineares, é possível definir um conjunto de operações sobre as linhas ou sobre as colunas de umamatriz denominadas operações elementares. O que segue trata de linhas mas todas elas são válidas para as colunas. As operações elementares são de três tipos.
Tipo I
Uma operação elementar do tipo I, representada por Eij, consiste na troca das linhas i e j. Assim:
[a→1...a→i...a→j...a→m]→Eij[a→1...a→j...a→i...a→m]
Tipo II
Uma operação elementar do tipo II, representada por Ei(k), consiste na multiplicação da linha i por um escalar não nulo. Assim:
[a→1...a→i...a→m]→Ei(k)[a→1...k⋅a→i...a→m]
Tipo III
Uma operação elementar do tipo III, representada por Eij(k), consiste na troca da linha j pela linha j mais k vezes a linha i. Assim:
[a→1...a→i...a→j...a→m]→Eij(k)[a→1...a→i...a→j+k⋅a→i...a→m]
Matrizes elementares
Matrizes elementares são obtidas através da aplicação de uma e somente uma operação elementar sobre as linhas da matriz identidade I. Desse modo, existem três tipos de operações elementares, uma para cada tipo de operação elementar, que geram os três tipos de matrizes elementares.
Tipo I
Uma matriz elementar do tipo I, representada por EI, é obtida pela troca de duas linhas de I. Assim:
[i→1...i→i...i→j...i→n]→Eij[i→1...i→j...i→i...i→n]
Tipo II
Uma matriz elementar do tipo II, representada por EII, é obtida pela multiplicação de uma linha de I por uma constante diferente de 0. Assim:
[i→1...i→i...i→n]→Ei(k)[i→1...k⋅i→i...i→n]
Tipo III
Uma matriz elementar do tipo III, representada por EIII, é obtida pela substituição de uma linha por ela mais uma constante vezes outra. Assim:
[i→1...i→i...i→j...i→n]→Eij[i→1...i→i...i→j+k⋅i→i...i→n]
Um aspecto importante das matrizes elementares é que pré-multiplicar uma matriz A por uma matriz elementar tem o mesmo efeito que aplicar sobreA uma operação elementar do mesmo tipo. Assim, EI⋅A é o mesmo que trocar duas linhas de A e EII⋅A é o mesmo que