Opera oes em Zm

INTRODUÇÃO
Inicialmente vamos mostrar o conceito de congruência que foi apresentado pelo matemático alemão Gauss em sua obra Disquisitione arithmeticae em 1801. A congruência módulo m é uma operação muito importante, é utilizada em várias áreas. Conhecendo e explorando os conceitos e as propriedades de congruência, podemos achar o resto de divisões sem muito esforço e de forma eficaz. Em seguida falaremos sobre relação de equivalência, uma relação de equivalência sobre o conjunto A é uma relação R que possui as propriedades: reflexiva, simétrica e transitiva. Abordaremos também o conceito de Classe de Equivalência e Operações em Zm.

Congruência
É a relação entre dois números que, divididos por um terceiro chamado módulo deixam o mesmo resto. Por exemplo, o número 9 é congruente ao número 2, módulo 7, pois ambos deixam resto 2, ao serem divididos por 7. Representamos essa congruência do exemplo por 9 ≡ 2, mod 7. Congruência é um conceito muito importante e que está relacionado com divisibilidade e os restos de uma divisão de números inteiros. O conceito de congruência módulo m pode ser identificado em diversas situações, tais como: no calendário, nas horas, na segurança de informação (criptografia); também pode-se reconhecer este conceito na matemática escolar, nos critérios de divisibilidade, na construção dos números módulo m, entendidos como restos da divisão por m, entre outros.
Definição: Sejam a, b números inteiros quaisquer e m um inteiro estritamente positivo. Diz-se que a é côngruo a b módulo m se m | (a - b), isto é, se a – b = mq para um conveniente inteiro q.
Notação: a ≡ b (mod m)
Para indicar que a – b não é divisível por m, ou seja, que a não é côngruo a b módulo m, escreve-se: a ≠ b (mod m).
Propriedades:
Reflexiva a ≡ a (mod m)
Simétrica se a ≡ b (mod m), então b ≡ a (mod m)
Transitiva se a ≡ b (mod m) e b ≡ c (mod m), então a ≡ c (mod m) Relação de Equivalência

Definição: Uma relação R sobre um conjunto A não vazio é