Leite

UNIVERSIDADE ESTADUAL PAULISTA
´ DEPARTAMENTO DE MATMATICA

´ ALGEBRA I

NEUZA KAKUTA ˜ ´ SAO JOSE DO RIO PRETO - 2005

Conte´ do u
Cap´ ıtulo 1. Conjuntos Opera¸oes entre conjuntos c˜ Cap´ ıtulo 2. A Aritm´tica dos Inteiros e 1. Princ´ ıpio da Boa Ordem e Indu¸ao Finita c˜ 2. Divisibilidade 3. Equa¸ao Diofantina Linear c˜ 4. Congruˆncias e Cap´ ıtulo 3. Rela¸˜es de Equivalˆncia e de Ordem co e 1. Rela¸ao de Equivalˆncia c˜ e 2. Rela¸ao de Ordem c˜ Cap´ ıtulo 4. Opera¸˜es co T´bua de uma Opera¸˜o sobre um Conjunto Finito a ca Cap´ ıtulo 5. Grupos 1. Homomorfismo de Grupos 2. Grupos C´ ıclicos 3. Grupo Gerado por um Conjunto 4. Classes Laterais e Teorema de Lagrange 5. Subgrupos Normais 6. Grupo das Permuta¸˜es co Cap´ ıtulo 6. An´is e Corpos e 1. Dom´ ınios e Corpo de Fra¸˜es co 2. Ideais de um Anel Comutativo 3. Homomorfismos de An´is e 4. An´is Quocientes e Teorema de Isomorfismo e 5. Dom´ ınios Principais i 1 1 5 5 6 9 11 13 14 15 19 21 23 25 29 31 32 34 35 39 40 42 43 44 46

ii

´ CONTEUDO

6. Anel de Polinˆmios sobre um Corpo o 7. Ra´ de um Polinˆmio ızes o 8. Polinˆmios Irredut´ o ıveis Apˆndice 1 e Indu¸ao Finita c˜ Teorema Fundamental da Aritm´tica e Apˆndice 2 e Fun¸ao de Euler c˜ Apˆndice 3 e Constru¸ao do Anel dos Inteiros c˜ Apˆndice 4 e Constru¸ao do Corpo dos Racionais c˜

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CAP´ ıTULO 1

Conjuntos
Definicao 0.1. Sejam A e B conjuntos. Dizemos que A ´ subconjunto de B e escrevemos ¸˜ e A ⊆ B se ∀x ∈ A ⇒ x ∈ B. Claramente ∅ ⊆ A e A ⊆ A para todo A. Definicao 0.2. Sejam A e B conjuntos. Dizemos que eles s˜o iguais se A ⊆ B e B ⊆ A. ¸˜ a Neste caso escrevemos A = B. Opera¸oes entre conjuntos c˜ Sejam X um conjunto universal e A, B ⊆ X. Definicao 0.3. A uni˜o de A com B ´ o conjunto ¸˜ a e A ∪ B := {x ∈ X | x ∈ A ou x ∈ B}, e interse¸˜o de A com B ´ ca e A ∩ B := {x ∈ X | x ∈ A e x ∈ B}. Proposicao 0.4. Sejam A, B, C ⊆ X. Ent˜o temos: ¸˜ a (1) A ⊆ A ∪ B e B ⊆ A ∪ B (2) A ∩ B ⊆ A e A ∩ B ⊆ B (3) A