Noções sobre Monte Carlo

Métodos de Monte Carlo
Allan Robert da Silva
Universidade Federal de Sergipe - UFS
Departamento de Estatística

4 de Novembro de 2013

Allan Robert

Monte Carlo

Conceito e Aplicações

O método de Monte Carlo (MC) é um método que fornece soluções para vários problemas matemáticos através da realização de amostragem de números aleatórios a partir de simulações computacionais.
Existem várias aplicações na literatura deste método, entre elas: Integração numérica, estimar o poder de um teste, estimar um erro quadrático médio, testes de hipóteses, etc.

Allan Robert

Monte Carlo

Integração de Monte Carlo (IMC)
Suponha que queremos integrar a função descrita abaixo: b I=

g(x)dx a Podemos reescrever a função da maneira: b (b − a)g(x)

I= a 1 dx = (b − a)E(g(x))
(b − a)

Em que X ∼ U(a, b). Logo temos um problema de cálcular a média de uma função g(X) que pode ser aproximada por:
ˆ = (b − a) 1
I
n

n

¯ g(x) = (b − a)g i=1 Allan Robert

Monte Carlo

Integração de Monte Carlo - Ideia do Algoritmo
O algoritmo se baseia nos passos:
Gerar X1 , X2 , . . . , Xn onde Xi ∼ U(a, b);
Calcular g(X1 ), g(X2 ), . . . , g(Xn );
¯
Calcular g ;
¯
Calcular ˆ = (b − a)g
I
Ex: Calcular, a partir de método de IMC, a integral:
A implementação no R fica assim:

1 −x dx 0 e

x = runif(10000,0,1) est = mean(exp(-x)) est # estimado
1 - exp(-1) # exato
# exercício: calcule analiticamente e usando IMC
#a f(x)=xe^(-x) onde 03.5)/length(z) # estimado
1-pnorm(3.5) # função implementada no R
# Obtenha a