Notas de aula, aplicação de derivadas - Cálculo 1

Notas de Aula - Cálculo 1

Landerson Bezerra Santiago versão 1.0 – 30/agosto/2012

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Capítulo 1
Aplicações da Derivada
1.1

Máximos e Mínimos

Definição 1.1 : Dizemos que uma função f possui um máximo global se existe c ∈ Df tal que f (x) ≤ f (c), para todo x ∈ Df .
Da mesma forma, dizemos que f possui um mínimo global se existe d ∈ Df tal que f (d) ≤ f (x), ∀x ∈ Df .
Exemplo 1.1 Considere o gráfico da seguinte função, definida num intervalo fechado
[a, b]:

Note que, no ponto "a", a função atinge seu valor máximo. Logo, f possui um valor máximo global em a.
No ponto c ∈ [a, b], f atinge seu valor mínimo. Logo, f possui um mínimo global em c.
Observação 1.1 Um ponto de máximo ou de mínimo global é chamado extremo local.

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CAPÍTULO 1. APLICAÇÕES DA DERIVADA

Definição 1.2 Dizemos que uma função f possui um máximo local num ponto c ∈ Df se existe um intervalo aberto (a, b) contendo c de modo que f (x) ≤ f (c) para todo x ∈ (a, b). Da mesma forma, definimos mínimo local.
Exemplo 1.2 Observe o gráfico da função f abaixo:

Veja que f possui um máximo local em c pois, no intervalo (x2 , x3 ), f (c) é o maior valor de f neste intervalo.
Da mesma forma, observe f (d) ≤ f (x) ∀ x ∈ (x1 , x2 ). Logo, f possui um mínimo local em d.
Observação 1.2 Quando uma função f assume um máximo ou mínimo local num ponto c, dizemos que f possui um extremo local em c.
Exemplo 1.3 A função f (x) = x2 possui um mínimo global em x = 0, mas não possui máximo local ou máximo global:

1.1. MÁXIMOS E MÍNIMOS

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Teorema 1.1 (Teorema do Valor Extremo) Se uma função f for contínua num intervalo fechado [a, b], então f assume um máximo global e um mínimo global neste intervalo. (EXEMPLOS)
Teorema 1.2 (Teorema do Ponto Crítico) Seja f uma função e c um ponto interior ao domínio de f (ou seja, existe um intervalo (a, b) ⊂ Df tal que c ∈ (a, b)). Se c for um ponto de extremo local e f for derivável em c, então f ′ (c) = 0.
Demonstração.