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AESGA - Autarquia do Ensino Superior de Garanhuns
Departamento de Engenharia
1a Lista de Exerc´ ıcios - C´lculo II a Professor : Felipe Fernando ˚ angelo Barreto

1. Defina primitiva de uma fun¸˜o, integral indefinida e verifique que ca x2 + 1 x2 dx =
+ ln |x| + K, K ∈ R x 2
(ex + e−x ) ex − e−x dx =
+ C, C ∈ R
2
2
3(ln x)2 ln x3 dx =
+ T, T ∈ R x 2 x2 1
3
= − e−2x + K, K ∈ R
2x3
6 e (a)
(b)
(c)
(d)

2. Determine y = y(x), x ∈ R, tal que dy dx dy (b) dx dy
(c)
dx dy (d) dx = 3x − 1 e y(0) = 2

(a)

= x3 − x + 1 e y(1) = 1
= sen(3x) e y(0) = 1
= e−x e y(0) = 1

3. Calcule a integral, interpretando-a em termos das ´reas. a 3

(a)

(1 + 2x)dx
1
2

|x|dx

(b)
−1
2

4 − x2 dx

(c)
−2
6

(d)

√ f (x)dx onde f (x) =

−3
0

(e)

(1 +

9 − x2 , se −3 ≤ x ≤ 3
3 − x, se 3 < x ≤ 6

9 − x2 )dx

−3 π π

sin2 x cos4 xdx.
√
√
1
5. Dado que 0 3x x2 + 4dx = 5 5 − 8, o que ´ e 4. Calcule

6. Se

9
0 f (x)dx

= 37 e

7. Se f for cont´ ınua e

9
0 f (x)dx
9
0 f (x)dx

= 16, encontre

= 4, encontre

√
0
2
1 3u x
9
0 [2f (x)

+ 4du.

+ 3g(x)]dx.

3
2
0 xf (x )dx.

1

8. Mostre que se f for cont´ ınua em [−3, 4], ent˜o a −1

3

f (x)dx +
3

−3

4

f (x)dx +

f (x)dx +

f (x)dx = 0

−3

−1

1

4

−1

9. Mostre que se f for cont´ ınua em [−1, 2], ent˜o a 2

0

f (x)dx +
−1

f (x)dx +
2

f (x)dx +
0

f (x)dx = 0
1

10. Esboce a ´rea representada por g(x). A seguir, encontre g (x) de duas maneiras: (i) utilizando a a parte 1 do Teorema Fundamental e (ii) calculando a integral usando a parte 2 e ent˜o derivando. a x 2
1 t dt x 0 (1 +

(a) g(x) =
(b) g(x) =

√

t)dt

11. Enuncie o Teorema Fundamental do C´lculo parte 01 e calcule a (a)
(e)

x

d dx 4 + t6 dt
0
x3

d dx 3

t2 + 1 dt

2

(b)

d dy (f )

d dx y

t2 sen(t) dt
1

(c)

d dx 3