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Departamento de Engenharia
1a Lista de Exerc´ ıcios - C´lculo II a Professor : Felipe Fernando ˚ angelo Barreto
1. Defina primitiva de uma fun¸˜o, integral indefinida e verifique que ca x2 + 1 x2 dx =
+ ln |x| + K, K ∈ R x 2
(ex + e−x ) ex − e−x dx =
+ C, C ∈ R
2
2
3(ln x)2 ln x3 dx =
+ T, T ∈ R x 2 x2 1
3
= − e−2x + K, K ∈ R
2x3
6 e (a)
(b)
(c)
(d)
2. Determine y = y(x), x ∈ R, tal que dy dx dy (b) dx dy
(c)
dx dy (d) dx = 3x − 1 e y(0) = 2
(a)
= x3 − x + 1 e y(1) = 1
= sen(3x) e y(0) = 1
= e−x e y(0) = 1
3. Calcule a integral, interpretando-a em termos das ´reas. a 3
(a)
(1 + 2x)dx
1
2
|x|dx
(b)
−1
2
4 − x2 dx
(c)
−2
6
(d)
√ f (x)dx onde f (x) =
−3
0
(e)
(1 +
9 − x2 , se −3 ≤ x ≤ 3
3 − x, se 3 < x ≤ 6
9 − x2 )dx
−3 π π
sin2 x cos4 xdx.
√
√
1
5. Dado que 0 3x x2 + 4dx = 5 5 − 8, o que ´ e 4. Calcule
6. Se
9
0 f (x)dx
= 37 e
7. Se f for cont´ ınua e
9
0 f (x)dx
9
0 f (x)dx
= 16, encontre
= 4, encontre
√
0
2
1 3u x
9
0 [2f (x)
+ 4du.
+ 3g(x)]dx.
3
2
0 xf (x )dx.
1
8. Mostre que se f for cont´ ınua em [−3, 4], ent˜o a −1
3
f (x)dx +
3
−3
4
f (x)dx +
f (x)dx +
f (x)dx = 0
−3
−1
1
4
−1
9. Mostre que se f for cont´ ınua em [−1, 2], ent˜o a 2
0
f (x)dx +
−1
f (x)dx +
2
f (x)dx +
0
f (x)dx = 0
1
10. Esboce a ´rea representada por g(x). A seguir, encontre g (x) de duas maneiras: (i) utilizando a a parte 1 do Teorema Fundamental e (ii) calculando a integral usando a parte 2 e ent˜o derivando. a x 2
1 t dt x 0 (1 +
(a) g(x) =
(b) g(x) =
√
t)dt
11. Enuncie o Teorema Fundamental do C´lculo parte 01 e calcule a (a)
(e)
x
d dx 4 + t6 dt
0
x3
d dx 3
t2 + 1 dt
2
(b)
d dy (f )
d dx y
t2 sen(t) dt
1
(c)
d dx 3