Modulo Binomial

Introdução

Muitos experimentos aleatórios fornecem resultados numéricos, como no caso do lançamento de um dado. Por outro lado, outros experimentos podem fornecer resultados não numéricos, embora possamos associar números aos resultados possíveis. No lançamento de uma moeda, por exemplo, podemos associar o número 1 à ocorrência de cara e o número 2 à ocorrência de coroa. Ao trabalhar com esses números, estaremos sempre interessados em associar probabilidades a eles. Isso será feito através das variáveis aleatórias, que serão o objeto de estudo neste Trabalho

Distribuição de Bernoulli
2.2.1 Definição
Considere o lançamento de uma moeda. A característica desse experimento aleatório é que ele possui apenas dois resultados possíveis. Uma situação análoga surge quando da extração da carta de um baralho, onde o interesse está apenas na cor (preta ou vermelha) da carta sorteada.
Um experimento de Bernoulli é um experimento aleatório com apenas dois resultados possíveis; por convenção, um deles é chamado “sucesso” e o outro “fracasso”.
A distribuição de Bernoulli é a distribuição de uma v.a. X associada a um experimento de
Bernoulli, onde se define X = 1 se ocorre sucesso e X = 0 se ocorre fracasso. Chamando de p a probabilidade de sucesso (0 < p < 1), a distribuição de Bernoulli é:

Obviamente, as condições definidoras de uma fdp são satisfeitas, uma vez que p > 0, 1 − p > 0 e p+(1−p) = 1. O valor de p é o único valor que precisamos conhecer para determinar completamente a distribuição; ele é, então, chamado parâmetro da distribuição de Bernoulli. Vamos denotar a distribuição de Bernoulli com parâmetro p por Bern(p).
A função de distribuição acumulada é dada por:

Na figura abaixo temos os gráficos da fdp e da fda de uma distribuição de Bernoulli.
Distribuição de Bernoulli com parâmetro p

2.2.2 Esperança
Seja X ∼ Bern(p) (lê-se: a variável aleatória X tem distribuição de Bernoulli com parâmetro p).
Então, E(X) = 0 × (1 − p) + 1 × p. Logo,
X ∼ Bern(p) ⇒ E(X) = p (2.2)