meus trabalhos

UFJF – MÓDULO III DO PISM – TRIÊNIO 2010-2012 – REFERÊNCIA DE CORREÇÃO DA PROVA DE MATEMÁTICA
PARA O DESENVOLVIMENTO E A RESPOSTA DAS QUESTÕES, SÓ SERÁ ADMITIDO USAR CANETA ESFEROGRÁFICA AZUL OU PRETA

Questão 1 – Uma circunferência de equação x 2 + y 2 − 8 x + 8 y + 16 = 0 é tangente ao eixo das abscissas no ponto M e tangente ao eixo das ordenadas no ponto N . Sabendo que T é o centro da circunferência, determine:
a) as coordenadas de M , N e T .
Primeiramente determinaremos o centro T quadrado temos,

( x 2 − 8 x) + ( y 2 + 8 y + 16) = 0

da circunferência C : x 2 + y 2 − 8 x + 8 y + 16 = 0 . Completando

( x 2 − 8 x + 16) − 16 + ( y 2 + 8 y + 16) = 0,

⇒

ou seja,

C : ( x − 4) 2 + ( y + 4) 2 = 16.
Logo

T (4, −4) .

Como C é tangente ao eixo das abscissas no ponto

C , obtemos
( x − 4) 2 + (0 + 4) 2 = 16
Logo, M (4, 0).

M , temos M ( x, 0) . Substituindo y = 0 na equação de

( x − 4) 2 = 16 − 16 = 0

⇒

⇒

x−4=0

⇒

x=4

C também é tangente ao eixo das ordenadas no ponto N , temos N (0, y ) . Substituindo x = 0 na equação de C , obtemos
(0 − 4) 2 + ( y + 4) 2 = 16
⇒
( y + 4) 2 = 16 − 16 = 0 ⇒ y+4=0 ⇒ y = −4
Portanto, N (0, −4).
Como

Outra solução possível:

C a circunferência de equação x 2 + y 2 − 8 x + 8 y + 16 = 0 .
Como C é tangente ao eixo das abscissas no ponto M ( xM , yM ) , temos yM = 0 . Substituindo yM = 0 na equação de C , obtemos
( xM ) 2 + 0 2 − 8 xM + 0 + 16 = 0
⇒
( xM − 4) 2 = 0 ⇒ xM − 4 = 0
⇒
xM = 4 .
Logo, M (4, 0).
Denotemos por

Usando que

C também é tangente ao eixo das ordenadas no ponto N ( xN , y N ) , temos xN = 0 . Substituindo

xN = 0 na equação de C , obtemos
0 2 + ( yN ) 2 − 0 + 8 yN + 16 = 0
Logo, N (0, −4).

⇒

( yN + 4)2 = 0

⇒

yN + 4 = 0

⇒

y N = −4 .

Segue também, do fato da circunferência C tangenciar o eixo das abscissas em M , que a reta perpendicular a tal eixo passando por

y

M também passa pelo centro T ( xT , yT ) , logo