Mecanica quantica

Cap´ ıtulo 5 ´ Mecˆnica Quˆntica e a Algebra a a Linear
´ a Neste cap´ ıtulo faremos uma recorda¸˜o de alguns fatos b´sicos de Algebra ca Linear, sem preocuparmos com o rigor matem´tico. Tamb´m formulaa e remos os postulados da Mecˆnica Quˆntica de uma forma mais geral a a ´ utilizando como base a Algebra Linear.

5.1

Espa¸os vetoriais c

u Consideremos um conjunto V e um corpo K, que pode ser (n´ meros reais) ou (n´ meros complexos). V ´ um espa¸o vetorial sobre K se u e c existirem duas opera¸˜es co

+ : V × V −→ V x y −→ x + y e : K × V −→ V α x −→ αx as quais satisfazem as seguintes propriedades, onde x e y pertencem a V e α e β a K, 1. x + y = y + x ; 79

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Cap´ ıtulo 5.

´ Mecˆnica Quˆntica e a Algebra Linear a a

2. x + (y + z) = (x + y) + z ; 3. Existe um vetor nulo (0) tal que x + 0 = x ; 4. Para qualquer x em V , existe (−x) tal que x + (−x) = 0 ; 5. α(βx) = (αβ)x ; 6. 1x = x ; 7. (α + β)x = αx + βx ; 8. α(x + y) = αx + αy .

Exemplos1 :
1. Seja V o conjunto das n-uplas (x1 , ..., xn ) de n´ meros complexos. u Definindo-se a soma de duas n-uplas e a sua multiplica¸˜o por ca um complexo atrav´s de e (x1 , ..., xn ) + (y1 , ..., yn ) ≡ (x + y1 , ..., x + yn ) , α(x1 , ..., xn ) ≡ (αx1 , ..., αxn ) , (5.1) (5.2)

´ f´cil verificar que V ´ um espa¸o vetorial sobre os complexos. e a e c Este espa¸o vetorial ´ chamado de n . c e 2. Consideremos o conjunto V de todas as fun¸˜es cont´ co ınuas de n quadrado integr´vel, i.e. as que satisfazem d x|Ψ(x)|2 < ∞. a Definindo as opera¸˜es de soma e multiplica¸˜o por um n´mero co ca u complexo atrav´s de e (Ψ1 + Ψ2 )(x) ≡ Ψ1 (x) + Ψ2 (x) e (αΨ)(x) ≡ αΨ(x) (5.3)

podemos verificar que V ´ um espa¸o vetorial sobre . Lembre-se e c que o palco da a¸˜o em Mecˆnica Quˆntica ´ um espa¸o vetorial ca a a e c j´ que o princ´ a ıpio da superposi¸˜o implica que os estados de um ca sistema formam um espa¸o vetorial. c
1

Mostre que estes exemplos s˜o de espa¸os vetoriais. a c

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5.2.