MAXIMOS E MINIMOS CONDICIONADOS

MAXIMOS E MINIMOS CONDICIONADOS: Multiplicadores de Lagrange

RESUMO:
Neste trabalho serão analisados os Máximos e Mínimos Condicionados, o Método de Multiplicadores de Lagrange, o qual permite analisar as situações mais gerais de uma função, tornando – a menos complexa. Serão apresentadas também, algumas aplicações do tema, para demonstrar detalhadamente cada passo deste mesmo.

INTRODUÇÃO:
O Maximo ou mínimo de uma função de duas variáveis pode ocorrer na fronteira de uma região ou no seu interior.
Analisando esta figura (5.1) podemos dizer que:
- os pontos P1 e P2 são pontos de mínimo da função z = f (X, Y) situados no interior de A D(f)
- o ponto P3 é o ponto de Maximo situado na fronteira de A D(f)

1. METODOS:

1.1 Consideremos os seguintes problemas
1) Max f (x,y) = 4 – X^2 – Y^2
2) Max f (x,y) = 4 – X^2 – Y^2
X + Y = 2

O problema (1) é um problema de otimização irrestrita.
No problema (2) temos a presença de uma restrição ou vinculo. Estamos diante de um problema de otimização restrita, em que queremos encontrar o maior valor da função em um subconjunto de seu domínio, nesse caso, o subconjunto do plano XY dado pela reta X + Y = 2.
Nesse contexto , a solucao do problema (1) é chamada um ponto de maximo livre ou não-condicionado de f. A solucao do prblema (2) é dita um ponto condicionado de f.
Uma vizualizacao desses problemas, mostra-se nessa imagem : 5.20

2. PROBLEMAS ENVOLVENDO FUNÇÕES DE DUAS VARIAVEIS E UMA RESTRIÇÃO

Max F (X, Y)
G (X, Y) = 0

Usando as propriedades do vetor gradiente, vamos obter uma visualização geométrica do método de Lagrange, que nos permite determinar os candidatos pontos de Máximo e mínimo condicionados de f .
Para isso esboçamos o gráfico de g( X,Y ) = 0 e diversas curvas de nível f ( X,Y ) = K da função objetivo , observando os valores crescentes de K. O valor Maximo de f( X,Y ) sobre a curva g(X,Y) = 0 coincide com o maior valor de K tal que a curva f(X,Y) = K