Matemática I

MATERIAL

DE

MATEMÁTICA I

CAPÍTULO III
DERIVADA

Curso:
Administração

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3 DERIVADA
3.1

Introdução

A diferenciação é uma técnica matemática que possui muitas aplicações, entre elas, destacam-se o traçado de curvas, os problemas de otimização de funções e a análise de taxas de variação. O ramo da matemática que estuda a derivada é conhecido como Cálculo.
Observemos um problema de taxa de variação de uma função:
! Se a função é linear (1º grau), sua taxa de variação em relação à variável independente é igual ao coeficiente angular da reta que representa a função no plano.
! Se a função não for linear, sua taxa de variação em relação à variável independente continua sendo a inclinação do gráfico mas, neste caso, ela é medida pelo coeficiente angular da reta tangente ao gráfico no ponto considerado. Como o gráfico não é uma reta, essa taxa de variação passa a varia ponto a ponto.
Então, o ideal é conseguirmos calcular o coeficiente angular da tangente à curva em certo ponto dado. Lembre-se que, tangente à curva em um ponto é a reta que passa por este ponto e que indica a direção da curva.
Def. 1.1: Derivada f ’(x) exprime o coeficiente angular da reta tangente à curva y = f(x) em função da coordenada x do ponto de tangência. E podemos denotála das seguintes formas: d dy f’(x), y’, dx f(x), dx Uma função é dita diferenciável em x = a se possui derivada neste ponto. Uma função que possui derivada em todos os pontos de seu domínio recebe o nome de função diferenciável. Os gráficos de funções diferenciáveis devem ser “suaves”, ou seja, não podem ter “vértices” nem “descontinuidade”.

3.2

TÉCNICAS DE DIFERENCIAÇÃO

3.2.1 Derivada de uma constante
Seja c ∈ ℜ (uma constante) d dx (c) = 0

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3.2.2 Derivada da Potência d n–1 n dx (x ) = nx
Ex. 1) Derive: y’ = 2x

2 −1

b) y = x

1 1/2 – 1
1 – 1/2
1
y’ = 2 x
= 2 x
=
2 x

2

a) y = x

= 2x

1
⇒ y = x– 1/2 x 1 – 1/2 – 1 y’ = – 2 x
=

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