Matematiques_Funções variaveos

Ensino Superior

Cálculo 3
2. Introdução às Funções de Várias Variáveis
Amintas Paiva Afonso

Cálculo 3

Programa
1. Introdução à funções de várias variáveis (FVV).

2. Limites e derivadas de FVV.
3. Regra da cadeia e derivada direcional.
4. Integração dupla.
5. Aplicações de integração dupla.
6. Integração tripla.

7. Aplicações de integração tripla.
8. Mudança de variáveis.
9. Apliacações de mudança de mudança de variáveis.

FUNÇÕES DE VÁRIAS
VARIÁVEIS

Funções de duas Variáveis
Seja D um subconjunto (região) do espaço R2 (plano). Chama-se função f de D toda relação que associa, a cada par (x,y)  D, um único número real, representado por f(x,y). O conjunto D é o domínio da função.
Assim,
D é o domínio da função em R2, f é a função f(x,y) é o valor da função calculado em (x,y).

Exemplos de valores de função de 2 variáveis:
Ex1: se f(x, y) = x2 + 2y, então f(2, 3) = 22 + 2.3 = 10

Ex2: f(x, y) = (3x + y3)1/2, então f(1, 2) = (3.1 + 23)1/2 = 3,32

EXEMPLOS
V =  r2h

Volume de um cilindro

F = m.a

Força para movimentar uma massa m

nRT
P
V

Pressão de um gás

Definições: Função Real de Variável Vetorial
Def: f é uma função real se todos os valores que assume são números reais, isto é, se C  R. f é uma função de variável vetorial se o seu domínio é um subconjunto de números reais no espaço ndimensional com n > 1, isto é, se D  Rn.


imagem

argumentos

Exemplos

imagem
4

argumentos
2

 f (x1, x 2 )  2x1  x 2  x1  1
 y 
 f (x, y)  ln

 x  1 c 2
 f (b,c,d)  sen (b   )  d  f (a,b,c)  ab 15c

Função Composta
Mais de uma Variável

f (k )  senk e h(x,y)  2 x  3 y
2

f (h( x, y ))  sen 2 x

2

 3y

2



2

Função de duas Variáveis
Z = f(x, y)
Imagem

Domínio

z1

x1,y1

z2

x2,y2 x3,y3 xi,yi xn,yn f

z3 zn zi

Identificar Domínio e Imagem das Funções
Domínio das funções de duas variáveis
O