MATEMATICA

Universidade Federal Rural de Pernambuco
Unidade Acadˆemica de Serra Talhada
Curso de Bacharelado em Agronomia
Prof. Renato Augusto Nascimento Santos
Aluno(a):
Matem´ atica AII - 2015.1
Lista 8
Equa¸c˜
oes Diferenciais Exatas
1. Verifique que ´e exata e resolva.
(a) ydx + xdy = 0

(b) dx + cos ydy = 0.
Fator Integrante

2. Determine um fator integrante e resolva.
(a) (3y 2 − x2 + 1)dx + 2xydy = 0, x > 0

(b) (xy 2 + 2)dx + 3x2 ydy = 0 x > 0.

Equa¸c˜ oes Diferenciais Lineares de 1a Ordem, com Coeficientes Constantes
3. Determine a solu¸ca˜o geral. dx − 2x = e−t
(a)
dt

(b) 3

dx
+ x = 4. dt 4. Uma das equa¸co˜es b´asicas dos circuitos el´etricos no instante t ´e
L

di
+ Ri = E(t), dt onde L (Henry) ´e a indutˆancia, R (Ohms) a resistˆencia, i (Amp´ere) ´e a corrente e E (Volt) a for¸ca eletromotriz. Resolva a equa¸ca˜o supondo L e R constantes n˜ao-nulas, E(t) = E0 para todo t e i = 0 para t = 0.
Equa¸c˜
oes Diferenciais Lineares, Homogˆ eneas, de 2a Ordem, com Coeficientes Constantes
5. Resolva a equa¸c˜ao. d2 x dx (a) 2 − 5 + 4x = 0 dt dt

d2 x dx − 4 + 6x = 0.
2
dt dt →
−
6. Uma part´ıcula de massa m = 1 desloca-se sobre o eixo Ox sob a a¸ca˜o de uma for¸ca el´astica −x i e de
→
− uma for¸ca de amortecimento proporcional a` velocidade dada por −cx i (c > 0). Determine c para que o
(b)

d2 x dx − 10 + 25x = 0
2
dt dt movimento seja:
(a) Fortemente amortecido;
(b) Criticamente amortecido;
1

(c)

(c) Oscilat´orio amortecido.
Respostas
1. (a) xy = c
2. (a) x3 y 2 −

(b) x + sen y = c. x 5 x3
+
=c
5
3

1
3. (a) x(t) = ke2t − e−t
3
4. i =

(b) Fator integrante x−4/3 .
1

(b) x(t) = ke− 3 t + 4.

R
E0
1 − e− L t .
R

5. (a) x = Aet + Be4t

√
√
(c) x = e2t (A cos 2t + B sin 2t).

(b) x = e5t (A + Bt)

2