matematica

Números complexos
 Definição z = a + bi com a, b e

i2 1 a = parte real de z = Re(z) b = coef. parte imaginária de z = Im(z)
 Forma algébrica

z  a  bi

(a  bi)(c  di)  (ac  bd )  (ad  bc)i

arg z    k 2 com k  Z

Divisão

É a amplitude, em radianos, do ângulo θ que o vetor imagem faz com a parte positiva do eixo real. Raíz quadrada de um real negativo

F. trigonométrica F. algébrica

a  bi (a  bi)(c  di) ac  bd bc  ad



i c  di (c  di)(c  di) a 2  d 2 a 2  d 2

 k  (1)k  i k


 Representação geométrica

z  a 2  b2

a

 v Conjugado
Seja z = a + bi  z  a  bi

A(a,b)


Conjugado

Re

Potências de i

i3

1 i -1
-i

Divide-se o expoente por 4. O resto é a nova potência a que se aplica a tabela.
Igualdade

Plano de Argand – plano com referencial ortonormado onde cada ponto representa um complexo. A cada número complexo z = a + bi corresponde:
 Um par ordenado (a,b)
 Um ponto (afixo de z) do plano A(a,b)
 Um vetor livre (vetor imagem ou

imagem vetorial) v = (a,b) com

 v  a 2  b2

 Forma trigonométrica

x  yi  a  bi  x  a e y  b

z   (cos  isen )

Adição e subtração

Módulo

(a  bi)  (c  di)  (a  c)  (b  d )i
Todo o número complexo tem um e um só simétrico. Multiplicação

 forma trig  a   cos e b  sen
Igualdade

z1  z 2  1   2  1   2  2k , k  Z

b

i0 i1 i2

b
; acertar a quadrante

Im

Módulo

a  bi    a 2  b 2 ; tg 

z    a 2  b2

z  cis ( )
Simétrico

 z  cis (   )
Multiplicação

z1 z 2  1  2 cis(1   2 )
Divisão

z1 1

cis (1   2 ) z2  2
Potenciação

É o comprimento do vetor imagem.
Argumento

z n   n cis (n ), n  N