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Razões
A palavra razão vem do latim ratio e significa a divisão ou o quociente entre dois números A e B, denotada por:
A

B
Exemplo: A razão entre 12 e 3 é 4 porque:
12

3
= 4 e a razão entre 3 e 6 é 0,5 pois:
3

6
= 0,5
A razão também pode ser expressa na forma de divisão entre duas grandezas de algum sistema de medidas. Por exemplo, para preparar uma bebida na forma de suco, normalmente adicionamos A litros de suco concentrado com B litros de água. A relação entre a quantidade de litros de suco concentrado e de água é um número real expresso como uma fração ou razão (que não tem unidade), é a razão:
A

B
= A/B
Exemplo: Tomemos a situação apresentada na tabela abaixo.
Líquido
Situação1
Situação2
Situação3
Situação4
Suco puro 3 6 8 30
Água
8
16
32 80
Suco pronto
11
22
40
110
Na Situação1, para cada 3 litros de suco puro coloca-se 8 litros de água, perfazendo o total de 11 litros de suco pronto.
Na Situação2, para cada 6 litros de suco puro coloca-se 16 litros de água, perfazendo o total de 24 litros de suco pronto.
Exemplo: Em uma partida de basquete um jogador faz 20 arremessos e acerta 10.

Podemos avaliar o aproveitamento desse jogador, dividindo o número de arremessos que ele acertou pelo total de arremessos, o que significa que o jogador acertou 1 para cada dois arremessos, o que também pode ser pensado como o acerto de 0,5 para cada arremesso.
10 : 20 = 1 : 2 = 0,5

Proporções
Proporção é a igualdade entre duas razões. A proporção entre A/B e C/D é a igualdade:
A

B
=
C

D
Notas históricas: A palavra proporção vem do latim proportione e significa uma relação entre as partes de uma grandeza, ou seja, é uma igualdade entre duas razões. No século XV, o matemático árabe Al-Kassadi empregou o símbolo "..." para indicar as proporções e em 1.537, o italiano Niccola Fontana, conhecido por Tartaglia, escreveu uma proporção na forma
6:3::8:4.
Regiomontanus foi um dos matemáticos italianos que mais