Matematica

UNIVERSIDADE LUSÍADA DE V. N. DE FAMALICÃO
Faculdade de Engenharia e Tecnologias
Matemática I
12/01/2011
Prova Final
Duração: 2 horas
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Tome em atenção o seguinte:
Justifique devidamente as suas respostas, apresentando todos os passos dados e todas as fórmulas utilizadas, com a identificação das variáveis nelas contidas; só assim poderá ser atribuída a cotação completa.
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1. Considere a função real de variável real h( x ) = π − 3arctg ( 4 x ) e considere a restrição principal da tangente.
1.1 Determine o domínio de h.
1.2 Caracterize a função inversa de h.
1.3 Calcule h −1 (

3π
).
4

2. Considere a função real de variável real definida por x2 +1
, cuja representação gráfica se apresenta na h( x ) = 2 x −1 figura. Determine:
2.1

os intervalos de crescimento e decrescimento da função e os seus extremos;

2.2

as assímptotas verticais e horizontais do gráfico de h.

2.3

a equação da recta normal ao gráfico de h no ponto de abcissa x = 2 .

3.

Um pavilhão de ginástica consiste numa sala de área rectangular com dois semicírculos, um em cada ponta. Uma pista de corrida de 200m circunda a sala pelo lado de fora.

3.1

Desenhe a figura que representa o problema. Represente por x e y, respectivamente, o comprimento e a largura do rectângulo.

3.2

Calcule as dimensões de x e de y para que a área da região rectangular seja máxima.

v.s.f.f.

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Faculdade de Engenharia e Tecnologias
Matemática I
12/01/2011
Prova Final
Duração: 2 horas
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4.

Uma árvore foi transplantada e após x anos cresce à taxa de

h`( x) = 0.5 +

1

(x + 1)2