Matematica

3 - INTRODUÇÃO À RESOLUÇÃO DE SISTEMAS NÃO LINEARES
.
Introdução.
No processo de resolução de um problema prático, é freqüente a necessidade de se obter a solução de um sistema de equações não lineares.
Dada uma função não linear (forma vetorial) F: D⊂ ℜn → ℜn , F = (f1 , ..., fn )T , o objetivo é encontrar as soluções para:
F(x) = 0 ou, equivalente:

f1 (x1, x 2 ,K, x n ) = 0
f (x , x ,K, x ) = 0
 2 1 2 n 
M
f n (x1, x 2 ,K, x n ) = 0

Exemplo 3.1:

f (x , x ) = x 2 + x 2 − 2 = 0
1
2
1 1 2
2

2
(x1, x 2 ) = x1 − x 2 − 1 = 0
f 2

9

0 = xx+yy-2
0 = xx-yy/9-1

Figura 3.1 – Gráfico das funções do exemplo 1.

55

Este sistema não linear admite quatro soluções, que são os pontos onde as curvas
2
x1 + x 2 = 2
2

2 e x1

x2
− 2 = 1 se interceptam.
9

Exemplo 3.2:
f (x , x ) = x 2 − x − 0.2 = 0
1 1 2
1
2

f 2 (x1 , x 2 ) = x 2 − x1 + 1 = 0

2

0 = xx-y-0.2
0 = -x+yy+1

Figura 3.2 – Gráfico das funções do exemplo 2.
Este sistema não tem solução, ou seja, não existem pontos onde as curvas
2
x1 − x 2 = 0.2 e x2 − x1 = − 1 se interceptem.
2

3.1- Notações e Definições básicas
No que segue será usada a seguinte notação:

 x1 
 
 x2  x =   e F(x) =
M
 
x 
 n

 f1(x ) 


 f 2 (x )
M



 f (x )
 n 

Cada função fi(x) é uma função não linear em x, fi : ℜ n → ℜ , i = 1, ..., n, e portanto F(x) é uma função não linear em x, F: ℜ n → ℜ n .
No caso de sistemas lineares, F(x) = Ax – b, onde A ∈ ℜn×n .

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n
Estamos supondo que F(x) está definida num conjunto aberto D ⊂ ℜ e que tem derivadas contínuas nesse conjunto. Ainda mais, supomos que existe pelo menos um ponto x* ∈D, tal que F(x*)=0.
O vetor das derivadas parciais da função fi (x1 , x2 , ..., xn) é denominado vetor gradiente de fi (x) e será denotado por ∇fi (x ) , i = 1, ..., n:

 ∂f (x ) ∂f (x )
∂f (x ) 
∇f i (x ) =  i , i ,L, i 
 ∂x
∂x 2
∂x n 

1


T

A