matematca

Um grupo é uma estrutura (S,*), formada por um conjunto não vazio S sobre o qual foi definido uma aplicação binária *, satisfazendo às propriedades:
1. (S,*) é associativa;
2. (S,*) possui um elemento neutro;
3. Cada elemento n S possui um simétrico m S com relação à operação *.
Se a aplicação * é a adição, o grupo (S,*) é aditivo e se a aplicação * é a multiplicação, o grupo (S,*) é multiplicativo.
Se a estrutura de grupo (S,*) é comutativa, o grupo é comutativo ou grupo abeliano.
Exemplos:
1. O conjunto Z dos números inteiros com a adição usual, estabelece uma estrutura (Z,+) de grupo abeliano, pois:
a. Para quaisquer m,n,p Z tem-se que: (m+n)+p=m+(n+p).
b. Existe 0Z tal que para todo mZ tem-se que 0+m=m+0=m.
c. Para cada mZ existe −mZ tal que m+(−m)=0.
d. Para quaisquer m,nZ tem-se que m+n=n+m.
2. O conjunto W={0,1} com a operação tal que
0 0=0, 0 1=1, 1 0=1, 1 1=0 estabelece uma estrutura (W, ) de grupo abeliano.
3. O conjunto Y={1,−1} com a operação usual de multiplicação de números inteiros estabelece uma estrutura (Y,.) de grupo abeliano.
4. Se P={0,1,2,3,4,5,...} é um conjunto de números inteiros munido com a adição usual, (P,+) não forma uma estrutura de grupo, pois nem todos os elementos de P possuem opostos em P, embora (P,+) seja associativa, comutativa e possua elemento neutro.
Tabelas de operações binárias e grupos
Muitas vezes temos conjuntos S munidos de operações definidas através de tabelas de dupla entrada (na forma de uma matriz) com o resultado da operação do primeiro elemento de uma linha com o primeiro elemento de uma coluna aparecendo no cruzamento da linha com a coluna.