MA 12 Lista U1 e U2

MA12 - Aula 01
1.1

Unidade 1

Semana 05/03 a 11/03

1.1.1

Números Naturais

Exercício 1.1.1.
Dado o número natural a, seja Y ⊂ N um conjunto com as seguintes propriedades:
(1) a ∈ Y ;
(2) n ∈ Y

n+1∈Y.

⇒

Prove que Y contém todos os números naturais maiores do que ou iguais a a.
Sugestão: considere o conjunto X = Ia ∪ Y , onde Ia é o conjunto dos números naturais ≤ a, e prove, por indução, que X = N.
Demonstração.
Para um elemento a ∈ N fixo, definimos os conjuntos P (a) = { n ∈ N /. n ≥ a } e consideremos os conjuntos Y = { m ∈ N /. m ∈ P (a) }

e

Ia = { n ∈ N /. n ≤ a }

Seja o conjunto X = Ia ∪ Y , então:
1. O número 1 ∈ X, pois 1 ∈ Ia ou 1 ∈ Y assim, 1 ∈ X é verdade.
Se h < a

⇒

h + 1 ≤ a, assim h + 1 ∈ Ia

Se h = a

⇒

a≤h+1∈Y

2. Suponhamos que h ∈ X, logo h ∈ Ia ou h ∈ Y
• Se h ∈ Ia então h ≤ a.
• Se h ∈ Y , então a ≤ h, conseqüentemente h + 1 ∈ Y
Logo, destas duas conclusões segue h + 1 ∈ Ia ∪ Y , de onde h + 1 ∈ X.
Das conclusões 1. e 2. temos X = N.
Exercício 1.1.2.
Use o exercício anterior para provar que 2n + 1 ≤ 2n para todo n > 2 e, em seguida, que n2 < 2n para todo n ≥ 5.
Solução.
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MA12 − 2012

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Definimos o conjunto P (3) = { n ∈ N /. 2n + 1 < 2n ,
I3 = {n ∈ N /. n ≤ 3 };

∀ n > 2 } e consideremos

Y = {n ∈ N /.

m ∈ P (3) }

X = I3 ∪ Y .

Seja o conjunto

1. O número 1 ∈ X, pois 1 ∈ I3 ou 1 ∈ Y ;
Se h ∈ I3 onde h < 3

⇒

h + 1 ≤ 3, assim h + 1 ∈ I3 , logo h + 1 ∈ X.

Se h = 3 ∈ I3 então 2(3) + 1 = 7 < 8 = 23 cumpre que 3 ∈ Y , logo 3 ∈ X.
2. Suponhamos para h ∈ Y tal que 3 < h cumpra 2h + 1 < 2h .
Para h + 1 ≥ 3, da hipótese auxiliar e como 2 < 2h

∀ h ∈ N h ≥ 2, segue

2(h + 1) + 1 = (2h + 1) + 2 < 2h + 2 < 2h + 2h = 2 × 2h = 2h+1
Assim, h + 1 ∈ Y , então h + 1 ∈ X é verdadeira.
Portanto, X = N.
Por outro lado, sejam P (5) = { n ∈ N /. n2 < 2n ,

∀ n ≥ 5 } e Y = {n ∈ N /. n ∈ P (5)}.

Se n = 5 segue que 5 = 25 < 32 = 2 , logo 5 ∈ Y .
2

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Suponhamos para h ∈ N cumpra h ∈ Y isto é h2 < 2h .

. . . (hipótese auxiliar)

Seja h + 1 ∈ N, da