Lógica

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MINISTÉRIO DA EDUCAÇÃO
UNIVERSIDADE FEDERAL DO PIAUÍ
CENTRO DE EDUCAÇÃO ABERTA E A DISTÂNCIA
CURSO DE SISTEMAS DE INFORMAÇÃO
LÓGICA PARA COMPUTAÇÃO

2ª LISTA DE EXERCÍCIOS - Extra

1. Dadas as expressões da Lógica Proposicional a seguir, encontre:
a) As expressões correspondentes na Lógica de Boole.
b) As expressões correspondentes na Teoria dos Conjuntos.
c) As representações em diagramas de Venn.

(p  q  r) → (p  q ↔ r)
a) (p  q  r)  (((p  q)  r)  ((p  q)  r))) = (p  q  r) = (p q  r)
b) p’.q’+ r’
c)

(p  q ↔ r)  (p→ q  r)
a) (((p  q)  r)  ((p  q)  r))  (p  q  r) = (p  q  r)
b) p’+ q. r
c)

2. Usando o Princípio de Indução Finita, mostre que as seguintes proposições são verdadeiras para todo número inteiro positivo n:
a) 12 + 32 + . . . + (2n-1) 2 = n (2n – 1) (2n + 1)/ 3
Condição básica A(1) ou seja, n = 1 temos 1² = 1(2.1 – 1)(2.1 + 1) /3  1 = 1
Suponha verdadeiro para A(n) e provemos para A(n+1), ou seja, A(n): 12 + 32 + . . . + (2n-1)2 = n (2n – 1) (2n + 1)/ 3 então A(n+1) : 12 + 32 + . . . + (2n-1)2 + (2n+1)2 = n (2n – 1) (2n + 1)/ 3 + (2n+1)² = (n(2n – 1) (2n + 1) + 3(2n + 1) (2n + 1)) / 3 =
((2n² – n) (2n + 1) + (6n + 3) (2n + 1))/3 = (2n² - n + 6n + 3) (2n +1) /3 =
(2n² + 5n + 3) (2n +1) /3 = (n + 1) (2n + 1) (2n + 3)/3, Portanto é verdadeira.

b) 2 + 6 + 10 + . . . + (4n – 2) = 2n2
Condição básica A(1) ou seja, n = 1 temos 4.1- 2 = 2.1²  2 = 2
Suponha verdadeiro para A(n) e provemos para A(n+1), ou seja, A(n): 2 + 6 + 10 + . . . + (4n – 2) = 2n2 então A(n+1): 2 + 6 + 10 + . . . + (4n – 2) + (4n + 2) = 2n2 + (4n + 2) = 2n2 + 4n + 2 = 2 (n² + 2n + 1) = 2(n + 1)² Portanto é verdadeiro

c) 4 + 10 + 16 + . . . + (6n – 2) = n(3n + 1)
Condição básica A(1) ou seja, n = 1 temos 6.1- 2 = 1.(3.1 + 1)  4 = 4
Suponha verdadeiro para A(n) e provemos para A(n+1), ou seja, A(n): 4 + 10 + 16 + . . . + (6n – 2) = n(3n + 1) então A(n+1): 4 + 10 + 16 + . . .