Logarítimo

1. (UERJ) Durante um período de oito horas a quantidade de frutas na barraca de um feirante se reduz a cada hora, do seguinte modo:

Nas t primeiras horas diminuem sempre 20% em relação ao número de frutas da hora anterior;

Nas 8-t horas restantes diminuem 10% em relação ao número de frutas da hora anterior.

Calcular:

a) O percentual do número de frutas que resta ao final das duas primeiras horas de venda, supondo t=2;

b) O valor de t, admitindo que, ao final do período de oito horas, há, na barraca, 32% das frutas que havia, inicialmente. Considere log2=0,30 e log3= 0,48.

Vamos chamar de Q a quantidade inicial de frutas

depois de 1 hora a quantidade fica:

Q-0,20Q= Q(1-0,20)

depois de duas horas a quantidade será

Q(1-0,20) - 0,20 Q(1-0,20)= Q(1-0,20)^2

assim depois de t horas a quantidade será

F(t)= Q(1-0,20)^t=Q.0,80^t

assim depois de 2 horas a quantidade de frutas fica

F(t)= Q. 0,8^2=0,64Q

Como a quantidade inicial era Q logo depois de 2 horas resta 0,64 de Q ou 64% da quantidade inicial.

Item segundo.

Seja um determinado valor de t que vamos chamar de k. Assim depois de k horas a quantidade de frutas será

F(k)= Q0,80^k

porem depois de K horas a quantidade diminui num ritmo de 10% ou seja

F(t)= [Q.0.80^k]. (1-0,10)^(t-k)=Q0,80^k0,9^(t-k)

para t=8 o valor de F(t)=0,32Q ou seja

Q0,80^k0,9^(8-k)=0,32Q

0,8^k.0,9^(8-k)=0,32

tomando logaritmos de ambos os membros

klog0,8+(8-k) log (0,9)= log(0,32)

0,8=8/10=2^3/10
0,9=9/10=3^2/10
0,32= 32/100= 2^5/100

log0,8= 3log2-log10=3.0,30-1=-0,10 log0,9= 2LOG3-LOG10= 2.0,48-1=-0,04 log0,32= 5log2-2=1,50-2= -0,50

-0,10k-(8-k)0,04=-0,50

-0,10k-0,32+0,04k=-0,50

-0,06k=-0,18

k=-0,18/-0,06=3

t = 3

2. (ANGLO) Num certo mês dois jornais circulam com 100.000 e 400.000 exemplares diários, respectivamente. Se, a partir daí, a circulação do primeiro cresce 8,8% cada mês e a do segundo decresce 15% cada mês, qual o número mínimo de meses