logaritmos

Fórmula de Taylor ou Polinômio de Taylor é uma expressão que permite o cálculo do valor de uma função por aproximação local através de uma função polinomial. Supondo f uma função derivável num intervalo contendo um ponto x_0 temos:

T(x) = f(x_0) + f'(x_0) \cdot (x-x_0)
Esta é uma função que descreve a equação de uma reta (devido ao expoente 1 relativo à variável x). Esta reta possuí o Entes geométricos fundamentais#coeficiente angular f'(x_0), logo, o gráfico de T é uma reta tangente ao gráfico de f no ponto (x_0,f(x_0)). É importante ressaltar que este conceito está diretamente ligado à ideia de diferencial.

Encontrar \ln 1,0031

f(x) = \ln x (função envolvida no problema) x_0 = 1 (ponto próximo onde conheço o valor da função)
T(1,0031) = \ln 01 + 1/1 \cdot 0,0031 = 0,0031 => \ln 1,0031 \approx 0,0031

argem de erro[editar | editar código-fonte]
Ao fazer a aproximação de f no ponto x por T no ponto x comete-se um erro:

E(x) = f(x)-T(x) E(x) = f(x)-f(x_0)-f'(x_0) \cdot (x-x_0) E(x)/(x-x_0) = (f(x)-f(x_0))/(x-x_0) - f'(x_0) \lim_{x \to x_0}E(x)/(x-x_0) = \lim_{x \to x_0}((f(x)-f(x_0))/(x-x_0) - f'(x_0)) \lim_{x \to x_0}E(x)/(x-x_0) = f'(x_0) - f'(x_0) \lim_{x \to x_0}E(x)/(x-x_0) = 0
A última expressão significa que o erro cometido tende a zero mais rápido que a diferença (x-x_0). A função T que foi examinada é um polinômio de 1ºgrau que é denominado o Polinômio de Taylor, de ordem 1, de f em volta de x0 e é escrito como:

P_1(x) = f(x_0) +