Lista de Geometria Analítica(não é de minha autoria)

Universidade Federal de Vi¸cosa
DMA - MAT152 - 2014/2 - Lista 1
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1. Represente geometricamente o segmento orientado P Q, onde: (a) P (−1, 2, 4), Q(2, −1, −2)
(b) P (0, 0, 3), Q(3, 3, −1).
2. Mostre que a adi¸ca˜o em Rn ´e associativa.
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3. Determine o ponto X ∈ Rn tal que o segmento orientado OX seja o representante
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da classe do segmento P Q, onde:
(a) P (1, 0, −2, 9), Q(3, −4, 12, 0); (b) P (3, 2, −4, 19, 2, −6), Q(7, 6, 8, −1, 2, 10).
4. Sejam u = (2, −4, 6), v = (−3, 12, −4) e w = (6, 3, −1). Determine o vetor x tal que: (a) x = u + v, (b) x = 3u + 2w, (c) x = 2u − v, (d) x = 2(u + v) + 3w,
(e) x = 2(3u + 2w) − 3(5v), (f ) u + 2v = x − w (g) 3(u + 2x) = 4x + 2w.
5. Determine o vetor w tal que w = 3u + 2v, se u = 3i − 2j + 5k e v = −5i + 6j − 3k.
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6. O vetor AB ´e tal que A = (2x + 1, 3y − 2) e B = (x, y). Se o vetor equivalente, localizado na origem, ´e v = (−4, 12), determine os valores de x e y.
7. Dados os vetores no plano u = 2i − 5j e v = i + j pede-se:
(a) o vetor soma u + v;
(b) ∥u + v∥;
(c) o vetor diferen¸ca u − v;
(d) o vetor 3u − 2v;
(e) o produto interno < u, v >;
(f ) o ˆangulo formado pelos vetores u e v.
8. Determine o valor de m se a norma do vetor v = (2m+2, m−1, 2m−7) ´e ∥v∥ = 13.
9. Dados u = (1, 4, 5), v = (3, 3, −2) e w = (−5, 7, 1) pede-se:
(a) < u, v >,

(b) < w, u >,

(c) < 3u, 2w >

(d) < 3u−4v, 5w >,

(e) < u, v > w.

10. Escreva o vetor unit´ario na dire¸ca˜o de:
(a) (3, 4),

(b) (−8, 6),

(c) (1, 2, 3),

(d) (−3, 12, −4).

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11. Determine o ponto C tal que AC = 2AB sendo A = (0, −2) e B = (1, 0).
12. Determine as coordenadas da extremidade do segmento orientado que representa o vetor v = (3, 0, −3), sabendo-se que sua origem est´a no ponto P = (2, 3, −5).
13. Quais s˜ao as coordenadas do ponto P ′ , sim´etrico do ponto P = (1, 0, 3) em rela¸c ao ao ponto M = (1, 2, −1)?
14. Se u = 0, ´e correto cancelar u de ambos os lados da equa¸ca˜o u · v = u · w e concluir que v =