Lista de Exercícios

Universidade Federal do Cear´ a Departamento de Matem´ atica Disciplina: C´ alculo Vetorial Aplicado
Lista de Fun¸c˜ oes Vetorias e Curvas

1a Lista de Exerc´ıcios

(1) Fa¸ca os seguintes exerc´ıcios:
(a) Hamilton Guidorizze vol 2, 5a edi¸ca˜o. Cap 7: As se¸c˜oes 7.1, 7.2, 7.3, 7.4, 7.5,
7,6, 7.7 (exerc´ıcios: 1,3,4-10).
(b) James Stewart Vol 2, 6a edi¸ca˜o.

Cap 13: As se¸c˜oes 13.1 (exerc´ıcios: 1-

14,25,27,28,36-38, 43, 56-51) e 13.3 (1-6,7-9,13,14,51-53).
(2) Sejam a e b constantes n˜ao nulas. Verifique que a aplica¸c˜ao α(t) = (a cos t, b sin t), t ∈
R ´e uma curva regular parametrizada diferenci´avel. Descreva o tra¸co de α e interprete geometricamente o parˆametro t.
(3) Determine o ponto de interse¸ca˜o do eixo ox com a reta tangente a` curva α(t) = (t, t2 ) em t = 1.
(4) Seja α : I −→ R2 uma curva regular. Prove que |α (t)| ´e constante se, e somente se, para cada t ∈ I, o vetor α (t) ´e ortogonal a α (t).
(5) (A Tractriz) Considere a aplica¸ca˜o t α(t) = (sin(t), cos(t) + log(tan )), t ∈ (0, π).
2
Prove que:
(a) α ´e uma curva parametrizada diferenci´avel.
(b) α (t) = 0 para todo t = π2 .
(c) O comprimento do segmento da reta tangente, compreendido entre α(t) e o eixo y, ´e constante igual a 1.
(6) A cicl´oide ´e a traget´oria descrita por um ponto P = (x, y) localizado no c´ırculo de raio r e centro O que gira, ao longo do eixo Ox, sem escorregar e com acelera¸ca˜o escalar constante.
1

(a) Obtenha uma curva parametrizada α : R −→ R2 cujo o tra¸co seja uma cicl´oide e determine seus pontos singulares.
(b) Calcule o comprimento de arco da cicl´oide correspondente a uma rota¸ca˜o completa do disco.
(7) (Espiral Logar´ıtmica) Seja α(t) = (aebt cos(t), aebt sin(t)), t ∈ R, a > 0 e b < 0 constantes, uma curva parametrizada.
(a) Mostre que quando t −→ +∞, α(t) aproxima-se da origem, espiralando em torno dela.
(b) Mostre que α (t) −→ (0, 0) quando t −→ +∞ e que t α (t)

lim

t→+∞

dt

t0

´e finito; isto ´e, α tem comprimento de arco finito em [t0 , ∞).
(8)