Lista 2

MAT 01167

Equa¸co˜es Diferenciais
LISTA 2

1. Determine as solu¸co˜es das seguintes equa¸c˜oes diferenciais:
(a) 6x2 y + 2xy 2 + 2x3 + 2x2 y y = 0
(b)

2xey − ysenx dx + cosx − 2 + x2 ey dy = 0

2. Resolva a equa¸c˜ao 3x2 y + 2xy + y 3 dx + x2 + y 2 dy = 0 , encontrando um fator integrante dependendo s´o de x.
3. Resolva a equa¸ca˜o y + 2xy − e−2y y = 0 , usando um fator integrante dependendo s´o de y.
4. (a) Justifique que para que uma equa¸c˜ao diferencial M (x, y) dx + N (x, y) dy = 0
My − Nx admita um fator integrante µ = µ(x) , dependendo s´o de x, ´e necess´ario que
N
dependa s´o de x.
(b) Verifique que a equa¸c˜ao
2x−2 ex − xy 2 + 2xyy = 0 admite um fator integrante dependendo s´o de x e resolva a equa¸c˜ao.
5. (a) Justifique que para que uma equa¸c˜ao diferencial M (x, y) dx + N (x, y) dy = 0
Nx − My admita um fator integrante µ = µ(y) , dependendo s´o de y, ´e necess´ario que
M
dependa s´o de y.
(b) Verifique que a equa¸c˜ao
3 y + y 2 + 2 + y sen x y + y cos x = 0 admite um fator integrante dependendo s´o de y, por´em n˜ao admite um fator integrante que depende somente de x. Resolva a equa¸ca˜o.
6. Verifique que a equa¸ca˜o
1 + ex y − x + ex y = 0 admite um fator integrante dependendo s´o de y e tamb´em fator integrante dependendo s´o de x. Resolva a equa¸c˜ao de duas maneiras, cada vez empregando um dos fators integrantes.

Resolva: dy − xy = 1 dx 7.

y + ay = x

10.

(x2 + 1)

8.

x y − y = x2 cos x

11.

y = e2 x + y − 1 , y(0) = 1

9.

y + y tan x = x sen x cos x , y(0) = 2

12.

2 x y + 3 x2 + (x2 + 2) y = 0

13. Resolva a equa¸ca˜o dx + tanto considerando

dx
).
dy

x
− sen y dy = 0 procurando x como fun¸ca˜o de y (pory

14. Seja u = u(t) a temperatura no instante t de um corpo imerso em um meio de temperatura constante um . A lei do resfriamento de Newton diz que a taxa de varia¸c˜ao du de u ´e diretamente proporcional `a diferen¸ca u − um , isto ´e,
= − k (u − um ) . Se um dt corpo aquecido a 120o C ´e posto em um ambiente a 30o C e sabe-se que