Lista 2

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QUESTÃO 2: Devido `a hip´otese do cont´ınuo e ao Teorema de Zermello (Teorema 11, 71), podemos enumerar R = {tα : α < ω1}. Seja X = {(tα, tβ) ∈ R 2 : β ≤ α < ω1} e seja Y = R 2 r X = {(tα, tβ) : α < β}. Dado x0 ∈ R, seja α < ω1 seu ´ındice, x0 = tα. Ent˜ao Xx0 = {(tα, tβ) : β ≤ α}. Como α < ω1 implica que α ´e ordinal enumer´avel ou finito, Xx0 ´e finito ou enumer´avel. Seja y0 ∈ R, indexado por β < ω1, y0 = tβ. Ent˜ao Yy0 = {(tα, tβ) : α < β}, que tamb´em ´e finito ou enumer´avel. 2 ⇒ 1: Temos que mostrar que a cardinalidade de R ´e ℵ1. Suponhamos que R = X ∪ Y , sendo que os conjuntos X e Y satisfa¸cam as condi¸c˜oes do enunciado 2. Sejam A ⊂ R, um conjunto de cardinalidade ℵ1, Z = {(x, y) ∈ R 2 : x ∈ A} (Z ´e a uni˜ao de todas as retas verticais x = a, para a ∈ A). Seja W = X ∩ Z. Ent˜ao a cardinalidade de W ´e |W| ≤ ℵ1, pois, para cada a ∈ R, o conjunto Xa tem cardinalidade |Xa| ≤ ℵ0, e W ∩ X = S a∈A Xa. Seja N = {y ∈ R : ∃x ∈ R (x, y) ∈ W}, a proje¸c˜ao de W sobre o eixo das ordenadas. Certamente, |N| ≤ ℵ1. Afirmamos que W = R, pois se y0 ∈ R, a reta y = y0 encontra uma quantidade n˜ao enumer´avel (ℵ1) de pontos de Z e, devido `as hip´oteses sobre os conjuntos X e Y , existe x0 ∈ X, tal que (x0, y0) ∈ X ∩ Z e, portanto, y0 ∈ N. Isso mostra que |R| = ℵ1, ou seja, a hip´otese do cont´ınuo. 1 ⇒ 3: Pela Hip´otese do cont´ınuo, existe uma enumera¸c˜ao R = {xα : α < ω1}. Como | ωR| = |R| |ω| = ℵ ℵ0 1 = ℵ1 e | ωω| = |R| |ω| = ℵ ℵ0 0 = ℵ1, sejam ξ α , uma enumera¸c˜ao (com repeti¸c˜ao: veja adiante) das seq¨uˆencias ξ α : ω → R, e k α uma enumera¸c˜ao das seq¨uˆencias k α : ω → ω, feitas de tal modo que dadas seq¨uˆencias ξ : ω → R e k : ω → ω, existe um ´ındice α < ω1, tal que ξ = ξ α = (ξ α n ) e k = k α = (k α n ). Isso ´e poss´ıvel, pois ℵ 2 1 = ℵ1, extraindo a enumera¸c˜ao desejada de uma enumera¸c˜ao de ωR × ωω. Para cada α < ω1 infinito, α ´e ordinal enumer´avel. Escolhamos uma enumera¸c˜ao de α = {ζ α n : n ∈ ω}. Sejam fn : R → R, n ∈ ω, fun¸c˜oes